四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=4，D为四面体OABC外一点，给出下列命题：
①不存在点D，使四面体ABCD三个面是直角三角形；
②存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥；
③存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上；
④存在点D，使CD与AB垂直且相等，且BD=

5

．
其中真命题的序号是 __________．

在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，P为△ABC内部一动点（含边界），在空间中，若到点P的距离不超过1的点的轨迹为L，则几何体L的体积等于 __________．

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E，F在棱AB上，点H，G在棱CD上，点E₁，H₁在棱A₁D₁上，点F₁，G₁在棱B₁C₁上，AE=BF=DH=CG=A₁E₁=B₁F₁=D₁H₁=C₁G₁=

1

2

，则六面体EFGH-E₁F₁G₁H₁的体积为 __________．

三棱锥A-BCD内接于半径为

30

的球O，且AB=2

14

，则三棱锥A-BCD体积的最大值为 __________．

已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=60°，P为该球面上的动点，若三棱锥P-OAB体积的最大值为6，则球O的表面积为 __________．

半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．

则得到的二十四等边体与原正方体的体积之比为 __________．

如图，多面体ABCDEF中，面ABCD为正方形，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，且AB=DE=2，CF=1，G为棱BC的中点，H为棱DE上的动点，有下列结论：
①当H为DE的中点时，GH∥平面BEF；
②存在点H，使得GH⊥AC；
③三棱锥B-GHF的体积为定值；
④三棱锥E-BCF的外接球的体积为14π．
其中正确的结论序号为 __________．

如图，多面体ABCDEF中，面ABCD为正方形，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，且AB=DE=2，CF=1，G为棱BC的中点，H为棱DE上的动点，有下列结论：
①当H为DE的中点时，GH∥平面ABE；
②存在点H，使得GH⊥AC；
③直线GH与BE所成角的余弦值的最小值为

4 5

5

；
④三棱锥A-BCF的外接球的表面积为9π．
其中正确的结论序号为 __________．（填写所有正确结论的序号）

正四面体ABCD的棱长为3，P在棱AB上，且满足

BA

=3

BP

，记四面体ABCD的内切球为球O₁，四面体PBCD的外接球为球O₂，则|O₁O₂|=__________．

已知圆柱的底面积为9π，侧面积为12π，则该圆柱的体积为 __________．