已知双曲线C：

x2

4

-

y2

12

=1的右焦点为F，点A（0，m），若直线AF与C只有一个交点，则m=__________．

已知直线l：

3

x-y-2

3

=0过双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一个焦点，且与C的一条渐近线平行，则C的实轴长为 __________．

已知函数f(x)=(x+1)eax+

1

x-1

的图象在原点处的切线与直线x+2y-2=0垂直，则实数a=__________．

中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a_n}，则该数列最大项和最小项之和为 __________．

已知曲线y=ae^x+

lnx

x

在（1，ae）处的切线方程为y=ex+x+b,则a=__________，b=__________．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P．Q两点|PQ|=a,且点P在以OA为直径的圆上，则C的离心率为 __________．

已知斜率为

3

的直线l过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，且与该抛物线交于A，B两点，若|AB|=8，P为该抛物线上一点，Q为圆C：(x+

3

2

)2+(y-1)2=1上一点，则|PF|+|PQ|的最小值为 __________．

对于三次函数f（x）=ax³+bx+c（a≠0）给出定义：设f′（x）是y=f（x）的导数，g（x）是 y=f'（x）的导数，若方程g（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为曲线y=f（x）的“拐点”，可以发现，任何一个三次函数都有“拐点”．设函数g（x）=2x³-3x²+4x-3，则g（

1

2023

）+g（

2

2023

）+…+g（

2022

2023

）=__________．

双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，点A关于原点O的对称点为P，PF⊥AB，且|BF|=3|AF|，则双曲线C的离心率为 __________．

设a＞b＞0，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的离心率为e₁，双曲线

x2

b2

-

y2

a2-2b2

=1的离心率为e₂，若e₁e₂＜1，则

e2

e1

的取值范围是 __________．