90841 难度：3

已知函数f(x)=ex，g(x)=

1+lnx

x

-m（m∈R）．
（1）证明：f（x）≥x+1；
（2）若f（x）≥g（x），求实数m的取值范围；
（3）证明：

n

k=1

(

1

k

)k＜

e

e-1

．（n∈N₊）

90842 难度：3

已知函数f（x）=e^mx-1-x.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当m＞0时，函数g（x）=f（x）-

lnx+1

m

+x恰有两个零点．
（i）求m的取值范围；
（ii）证明：g(x)＞m

1

m

-m-

1

m

．

90843 难度：3

已知函数f（x）=xlnx-

k

x

，其中k＞0．
（1）证明：f（x）恒有唯一零点；
（2）记（1）中的零点为x₀，当0＜k＜

e

2

时，证明：f（x）图象上存在关于点（x₀，0）对称的两点．

90844 难度：3

已知函数f（x）=kln（x+1），g（x）=x,（k∈R）．
（1）讨论函数y=f（x）-g（x）在区间[0，+∞）上的最大值；
（2）确定k的所有可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈（0，t），恒有|f（x）-g（x）|＜kx²．

90845 难度：3

已知函数f（x）=a（x+1）lnx+2x,a∈R．
（1）若a=1，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a≤

1

2

，求证：对∀x∈[1，+∞），f（x）≤e^x-1+2alnx+x恒成立．

90846 难度：3

已知函数f（x）=e^x（tanx-1）-1，f（x）的导函数为f′（x）．记函数f（x）在区间(nπ-

3π

2

，nπ-

π

2

)内的零点为x_n，n∈N^*．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）证明：x_n+1-x_n＜π．

90847 难度：3

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为M₁，M₂，短轴长为2

3

，点C上的点P满足直线PM₁，PM₂的斜率之积为-

3

4

．
（1）求C的方程；
（2）若过点（1，0）且不与y轴垂直的直线l与C交于A，B两点，记直线M₁A，M₂B交于点Q．探究：点Q是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．

90848 难度：4

已知函数f（x）=2x-4lnx-1．
（1）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程y=g（x），并证明：当x＞0时，f（x）-g（x）≥0恒成立；
（2）若f（x）=a有两个不同的实数根x₁，x₂，且x₂＞x₁，证明：x₂-x₁＜2a+2．

90849 难度：4

已知实数a＞0，函数f（x）=1+ln（ax），g（x）=e^x-a.
（1）若不等式f（x）≤x恒成立，求a的取值范围；
（2）若不等式f（x）≤x•g（x）恒成立，求a的取值范围．

90850 难度：4

已知函数f（x）=x²-aln（1-x），a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，求证：2f(x1)-ax2＞(2ln2-

3

2

)a．