90831 难度：4

已知函数f（x）=x²lnx+x²．
（1）求f（x）的极值；
（2）若不等式

f(x)

x

≥x2+mex在[

1

e

，+∞)上恒成立，求实数m的取值范围．

90832 难度：5

已知函数f（x）=2ae^-x-sinx+1，f′（x）是f（x）的导函数，且f′（0）=0．
（Ⅰ）求a的值，并证明函数f（x）在x=0处取得极值；
（Ⅱ）证明：f（x）在区间[2kπ，2kπ+

π

2

](k∈N)有唯一零点．

90833 难度：2

已知函数f(x)=ax-

2

x

-3lnx，其中a为常数．
（1）当函数f（x）的图象在点(

2

3

，f(

2

3

))处的切线的斜率为1时，求a的值；
（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在[

3

2

，3]上的最小值．

90834 难度：3

求下列函数的极值：
（1）f（x）=-x³+12x+6；
（2）f(x)=

2x

x2+1

-2．

90835 难度：3

已知函数f（x）=2x-xlnx,g（x）=e^x-alnx.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）证明：当a＞0时，g（x）≥f（a）．

90836 难度：3

已知点A（2，1）在双曲线C：

x2

a2

-

y2

a2-1

=1（a＞1）上，直线l（不过点A）的斜率为-1，且交C于P，Q两点
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．

90837 难度：5

已知函数f（x）=e^x-1，g（x）=ln（x+1）．
（1）若f（x）≥kg（x）在（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；
（2）设A（x₁，y₁）（x₁＞0）为y=f（x）图象上一点，B（x₂，y₂）（x₂＞0）为y=-g（x）图象上一点，O为坐标原点，若∠AOB为锐角，证明：x2＞

x

2 1

．

90838 难度：3

在直角坐标系xOy中，动点M到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）当x≥0时，记动点M的轨迹为曲线C，过F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与直线x=1分别交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

90839 难度：3

已知过点P（2，0）的直线l₁与双曲线C：

x2

2

-y2=1的左右两支分别交于A、B两点．
（1）求直线l₁的斜率k的取值范围；
（2）设点Q（x₀，y₀）(

x

2 0

≠2y02)，过点Q且与直线l₁垂直的直线l₂，与双曲线C交于M、N两点．当直线l₁变化时，

1

|PA|•|PB|

-

1

|QM|•|QN|

恒为一定值，求点Q的轨迹方程．

90840 难度：3

已知函数f（x）=x+alnx+

2a2

x

，其中a＞0．
（1）若f（x）≥a恒成立，求a的取值范围；
（2）令g（x）=f（x）-

4a2

x

，已知0＜p＜q＜r且2q＞p+r,试证明：g（p）+g（r）＜2g（q）．