90801 难度：4

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁=B₁C₁，A₁C₁⊥B₁C₁，A₁A=

1

2

A1B1，M为棱A₁B₁的中点．
（1）求证：AM⊥平面BC₁M；
（2）若A₁C₁=2，求三棱锥A-BC₁M的体积．

90802 难度：3

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F，G，H分别是AB，AC，A₁C₁，A₁B₁的中点，求证：
（1）B₁C₁∥平面A₁EF；
（2）平面A₁EF∥平面BCGH．

90803 难度：3

将一个边长为1米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒．

（1）试把这个正六棱柱铁皮盒的容积V表示为盒底边长x的函数；
（2）x多大时，盒子的容积V最大？

90804 难度：2

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁，点D是AB的中点．求证：
（1）AC₁∥平面B₁CD；
（2）A₁B⊥B₁C．

90805 难度：3

如图所示，以线段AB为直径的半圆上有一点C，满足：BC=1，AC=

3

，若将图中阴影部分绕直线AB旋转180°得到一个几何体．
（1）求阴影部分形成的几何体的体积；
（2）求阴影部分形成的几何体的表面积．

90806 难度：3

如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，若AD=2，AF=AB=BC=FE=1．
（1）求五面体ABCDEF的体积；
（2）若M为EC的中点，求证：平面CDE⊥平面AMD．

90807 难度：3

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥底面ABCD，BA=

2

，AD=2，PB=

3

，直线PD与平面ABCD所成角的正弦值为

15

5

，E，F分别是棱AD，PC的中点．
（1）求异面直线EF与AB所成角的正切值；
（2）求三棱锥P-BAD外接球的体积．

90808 难度：3

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，BC=3，AB=5．
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）设AC₁与底面ABC所成角的大小为60°，求三棱锥C-ABC₁的体积．

90809 难度：3

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P-ABCD的体积为

8

3

，
求PB与平面ABCD所成的线面角的大小．

90810 难度：2

如图，在三棱柱BCF-ADE中，若G，H分别是线段AC，DF的中点．
（1）求证：GH∥BF；
（2）在线段CD上是否存在一点P，使得平面GHP∥平面BCF，若存在，指出P的具体位置并证明；若不存在，说明理由．