国学小组有编号为1，2，3，…，n的n位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为

2

3

、答对第二题的概率为

1

2

，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②若第i（i=1，2，3，…，n-1）号同学未答对第一题，则第i轮比赛失败，由第i+1号同学继继续比赛；③若第i（i=1，2，3，…，n-1）号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第i轮结枣；若该生未答对第二题，则第i轮比赛失败，由第i+1号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第n轮，则不管第n号同学答题情况，比赛结束．
（1）令随机变量X_n表示n名同学在第X_n轮比赛结束，当n=3时，求随机变量X₃的分布列；
（2）若把比赛规则③改为：若第i（i=1，2，3，…，n-1）号同学未答对第二题，则第i轮比赛失败，第i+1号同学重新从第一题开始作答．令随机变量Y_n表示n名挑战者在第Y_n轮比赛结束．
①求随机变量Yn(n∈N*，n≥2)的分布列；
②证明：E（Y_n）单调递增，且小于3．

二十四节气起源于黄河流域，是古代中国劳动人民长期经验的积累和智慧的结晶．其中“立冬小雪十-月，大雪冬至迎新年”就是描述二十四节气农历11月和12月的节气口诀．某中学为调查本校学生对二十四节气的了解情况，组织测试活动，按照性别分层抽样抽取了150名学生进行答题，其中男生占60%，记录其性别和是否全部答对的情况，得到如图的等高条形图．

（1）完成下面的2×2列联表，判断能否有95%的把握认为“是否全部答对”与性别有关？

	完全答对	部分答对	合计
男
女
合计

（2）从参加测试的女生中选取一人继续回答甲、乙两道题目，已知该女生答对甲、乙两道题目的概率分别是

4

5

，

3

4

，记该女生答对题目的个数为X，求X的分布列和数学期望．
附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+d)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

P（K2≥k0）	0.150	0.100	0.050	0.010	0.005
k0	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879

调查问卷中常常涉及到个人隐私或本人不愿正面回答的问题，被访人可能拒绝回答，即使回答，也不能期望答案是真实的．某小区要调查业主对物业工作是否满意的真实情况，现利用“随机化选答抽样”方法制作了具体调查方案，其操作流程如下：在一个箱子里放3个红球和2个白球，被调查者在摸到球后记住颜色并立即将球放回，如果抽到的是红球，则回答“你的性别是否为男性？”如果抽到的是白球，则回答“你对物业工作现状是否满意？”两个问题均用“是”或“否”回答．
（1）共收取调查问卷100份，其中答案为“是”的问卷为60份，求一个业主对物业工作表示满意的概率，已知该小区共有业主500人，估计该小区业主对物业工作满意的人数；
（2）现为了提高对物业工作满意的业主比例，对小区业主进行随机访谈，请表示不满意的业主在访谈中提出两个有待改进的问题．
（i）若物业对每一个待改进的问题均提出一个相应的解决方案，该方案需要由5名业主委员会代表投票决定是否可行．每位代表投赞同票的概率均为

1

3

，方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，并最终解决该问题，求某个问题能够被解决的概率p₀；
（ii）假设业主所提问题各不相同，每一个问题能够被解决的概率都为p₀，并且都相互独立．物业每解决一个问题，业主满意的比例将提高一个百分点．为了让业主满意的比例提高到80%，试估计至少要访谈多少位业主？

疫情过后，某市为了提高市民蔬菜供应质量，科研所对冬季昼夜温差的大小与某种反季节蔬菜的生长的关系进行研究，他们记录了当地冬季某月6号到10号的有关数据，每天的昼夜温差和每天每100颗种子中的发芽数，如表所示．

日期	6号	7号	8号	9号	10号
温差x（℃）	10	11	13	12	8
发芽数y（颗）	23	25	30	26	16

该科研所的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的两组数据恰好是不相邻的2天的数据的概率；
（2）若选取的是6号10号的两组数据，请根据7号、8号、9号的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得到的线性回归方程是否可靠？（线性回归方程

̂

y

=bx+a,其中b=

n i=1 xiyi-n x • y

n i=1 xi2-n x 2

，a=

y

-b

x

）．

为普及航空航天科技相关知识、发展青少年航空航天科学素养，贵州省某中学组织开展“筑梦空天”航空航天知识竞赛，竞赛试题有甲、乙、丙三类（每类题有若干道），各类试题的每题下表所示，各小题回答正确得到相应分值，否则得0分，竞赛分三轮分之和即为选手总分．

题型 项目	每小题分值	每小题答对概率
甲类题	10	3 4
乙类题	20	2 3
丙类题	30	1 2

其竞赛规则为：
第一轮，先回答一道甲类题，若正确，进入第二轮答题：若错误，继续回答另一道甲类题，该题回答正确，否则退出比赛．
第二轮，在乙类题中选择一道作答，若正确，进入第三轮答题；否则，退出比赛．
第三轮，在前两轮位作答的那一类试题中选择一道作答．
小明参加竞赛，有两种方案选择，方案一：先答甲类题，再答乙类题，最后答丙类题；
方案二：先答甲类题，再答丙类题，最后答乙类题．各题答对与否互不影响．请完成以下解答：
（1）若小明选择方案一，求答题次数恰好为3次的概率；
（2）经计算小明选择方案一所得总分的数学期望为

125

4

，为使所得总分的数学期望最大，小明该选择哪一种方案？并说明理由．

为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免，全省国有A级旅游景区免首道门票，鼓励非国有A级旅游景区首道门票至少半价优惠．本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名的重点景区，据统计，活动开展以来游客至少去过两个及以上景区的人数占比约为90%．某市旅游局从游客中随机抽取100人（其中年龄在50周岁及以下的有60人）了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄（50周岁及以下和50周岁以上）分类统计得到如下不完整的2×2列联表：

	不满意	满意	总计
50周岁及以下	_____	55	_____
50周岁以上	15	_____	_____
总计	_____	_____	100

（1）根据统计数据完成以上2×2列联表，并根据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联？
（2）现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为X，若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率．
①求X的分布列和数学期望；
②求P（|X-1|≤1）．
参考公式及数据：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

α=P（χ2≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

2023年，全国政协十四届一次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月11日下午闭幕，会期7天半；十四届全国人大一次会议于3月5日上午开幕，13日上午闭幕，会期8天半．为调查学生对两会相关知识的了解情况，某高中学校开展了两会知识问答活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取320名学生，他们的得分的频率分布折线图如下．
（1）若此次知识问答的得分X～N（μ，σ²），用样本来估计总体，设μ，σ分别为被抽取的320名学生得分的平均数和标准差，求P（50.5＜X≤94）的值；
（2）学校对这些被抽取的320名学生进行奖励，奖励方案如下：用频率估计概率，得分小于或等于55的学生获得1次抽奖机会，得分高于55的学生获得2次抽奖机会．假定每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概率为

3

4

，抽到价值20元的学习用品的概率为

1

4

．从这320名学生中任取一位，记该同学在抽奖活动中获得学习用品的价值总额为ξ元，求ξ的分布列和数学期望（用分数表示），并估算此次抽奖要准备的学习用品的价值总额．
参考数据：P（μ-σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9973，

210

≈14.5，0.375=

3

8

．

斯特林公式（Stirling's approximation）是由英国数学家斯特林提出的一条用来取n的阶乘的近似值的数学公式，即n!≈

2πn

（

n

e

）ⁿ，其中π为圆周率，e为自然对数的底数．一般来说，当n很大的时候，n的阶乘的计算量十分大，所以斯特林公式十分好用．斯特林公式在理论和应用上都具有重要的价值，对于概率论的发展也有着重大的意义．若利用斯特林公式分析100！计算结果，则该结果写成十进制数时的位数约为（　　）
（参考数据：lg2≈0.301，lgπ≈0.497，lge≈0.434）

已知a＞1，b＞1，且log₂

a

=logb4，则ab的最小值为（　　）

已知3^a=5^b=15，则下列结论正确的是（　　）