设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球
（1）记从甲袋中取出的2个球中恰有X个白球，求随机变量X的概率分布和期望；
（2）求从乙袋中取出的2个球中恰有1个红球的概率．

已知多面体ABCDEF中，AD∥BC∥EF，且AD=CD=DE=4，BC=EF=2，∠BCD=∠FED=

π

3

．
（1）证明：AD⊥BF；
（2）若BF=2

6

，求二面角C-AF-B的余弦值．

如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，过P点作PD⊥平面ABC，垂足为D，过D点作DE⊥平面PAB，垂足为E，连接PE并延长交AB于点G．
（1）证明：G是线段AB的中点；
（2）求平面EAC与平面PAC夹角的正弦值．

某制药厂研制了一种新药，为了解这种新药治疗某种病毒感染的效果，对一批病人进行试验，在一个治疗周期之后，从使用新药和未使用新药的病人中各随机抽取100人，把他们的治愈记录进行比较，结果如表所示：

	治愈	未治愈	合计
使用新药	60
未使用新药		50
合计

（1）请完成2×2列联表，是否有90%的把握认为该种新药对该病毒感染有治愈效果？
（2）把表中使用新药治愈该病毒感染的频率视作概率，从这一批使用新药的病人中随机抽取3人，其中被治愈的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．
（3）该药厂宣称使用这种新药对治愈该病毒感染的有效率为90%，随机选择了10个病人，经过使用该药治疗后，治愈的人数不超过6人，你是否怀疑该药厂的宣传？请说明理由．
（参考数据：

C

1 10

(0.9)1(0.1)9=9×10-9，

C

2 10

(0.9)2(0.1)8≈3.65×10-7，

C

3 10

(0.9)3(0.1)7≈8.75×10-6，

C

4 10

(0.9)4(0.1)6≈1.38×10-4，

C

5 10

(0.9)5(0.1)5≈1.49×10-3，

C

6 10

(0.9)6(0.1)4≈0.011，

10

i=7

C

i 10

(0.9)i(0.1)10-i≈0.987）
附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，

P（K2≥k）	0.10	0.010	0.001
k	2.706	6.635	10.828

将某工厂的工人按年龄分成两组：“35周岁及以上”、“35周岁以下”，从每组中随机抽取80人，将他们的绩效分数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，分别加以统计，得到下列频率分布直方图．该工厂规定绩效分数不少于80者为生产标兵．

（1）请列出2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关：
（2）若已知该工厂工人中生产标兵的占比为30%，试估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比以及生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比．
附：x2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．

P（x2≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，△PCD为等边三角形，AB=AD=

1

2

CD=1，∠BAD=∠ADC=90°，M是棱上一点，且

CM

=2

MP

．
（1）求证：AP∥平面MBD；
（2）求二面角M-BD-C的余弦值．

在斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，底面△ABC是边长为2的正三角形，A₁A=A₁C，A₁A⊥A₁C．
（1）求证：A₁C₁⊥B₁C；
（2）求二面角B₁-A₁C-C₁的正弦值．

近段时间，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习，为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取120名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为7：5，男生中喜欢上网课的为

4

7

，女生中喜欢上网课的为

7

10

，得到如下列联表．

	喜欢上网课	不喜欢上网课	合计
男生	_____	_____	_____
女生	_____	_____	_____
合计	_____	_____	_____

（1）请将列联表补充完整，试判断能否有90%的把握认为喜欢上网课与否与性别有关；
（2）从不喜欢上网课的学生中采用分层抽样的方法，随机抽取6人．现从6人中随机抽取2人，求抽取的学生中至少有1名是女生的概率．
附：K2=

n(ad-bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

P（K2≥k）	0.150	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E为CD中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCD）．

（1）求证：AE⊥PB；
（2）若把△ADE折起到当平面PAE⊥平面ABCE时，求二面角A-PE-C的余弦值．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA=PD，PB=PC=BC=2，二面角P-BC-A的大小为30°．
（1）证明：平面PAD⊥平面PBC；
（2）求PC与平面PAB所成角的正弦值．