定义向量

OM

=(a,b)的“伴随函数”为f（x）=asinx+bcosx；函数f（x）=asinx+bcosx的“伴随向量”为

OM

=(a,b)．
（1）写出

OM

=(3，4)的“伴随函数”f（x），并直接写出f（x）的最大值；
（2）写出函数f(x)=cos(x+

π

3

)+2cosx的“伴随向量”为

ON

，并求|

ON

|；
（3）已知|

OM

|=|

ON

|=1，

OM

的“伴随函数”为f（x），

ON

的“伴随函数”为g（x），设

OP

=λ

OM

+μ

ON

(λ＞0，μ＞0)，且

OP

的伴随函数为h（x），其最大值为p,
①若|

OM

+

ON

|=

3

，λ=μ=1，求p的值；
②求证：向量

OM

=

ON

的充要条件是p=λ+μ．

已知向量

a

=（sinx,

1

2

），

b

=（cosx,-1），
（1）当

a

⊥

b

时，求x的值；
（2）求f（x）=（

a

+

b

）•

b

在[-

π

2

，0]上的最大值与最小值．

设

a

，

b

是两个不共线的非零向量．
（1）记

OA

=

a

，

OB

=t

b

，

OC

=

1

3

（

a

+

b

），那么实数t为何值时，ABC三点共线？
（2）若|

a

|=|

b

|=1且

a

与

b

夹角为120°，那么实数x为何值时，|

a

-x

b

|的值最小？

生活中，我们使用的电悌、旗杆、窗帘等都是滑轮原理的应用．如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮A，B用一条足够长的绳子跨过它们，并在两端分别挂有质量为m₁和m₂物体（m₁≠m₂），另在两滑轮中间的一段绳子的点O处悬挂质量为m的另一物体．
（1）若m₁：m₂：m=4：7：5，试求cos∠AOB；
（2）若m₁：m₂=OB：OA，且系统保持平衡（滑轮半径、绳子质量均忽略不计）．求证：OA⊥OB．

对于给定的正整数n,记集合Rⁿ={α|α=（x₁，x₂，x₃，…，x_n），x_j∈R，j=1，2，3，…，n}，其中元素α称为一个n维向量．特别地，

0

=(0，0，⋅⋅⋅，0)称为零向量．
设k∈R，α=（a₁，a₂，…，a_n），β=（b₁，b₂，…，b_n）∈Rⁿ，定义加法和数乘：α+β=（a₁+b₁，a₂+b₂，…，a_n+b_n），kα=（ka₁，ka₂，…，ka_n）．
对一组向量

α1

，

α2

，…，

αs

（s∈N₊，s≥2），若存在一组不全为零的实数k₁，k₂，…，k_s，使得k₁

α1

+k₂

α2

+…+k_s

αs

=

0

，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
（Ⅰ）对n=3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
①

α

=(1，1，1)，

β

=(2，2，2)；
②

α

=(1，1，1)，

β

=(2，2，2)，

γ

=(5，1，4)；
③

α

=(1，1，0)，

β

=(1，0，1)，

γ

=(0，1，1)，

δ

=(1，1，1)．
（Ⅱ）已知向量

α

，

β

，

γ

线性无关，判断向量

α

+

β

，

β

+

γ

，

α

+

γ

是线性相关还是线性无关，并说明理由．
（Ⅲ）已知m（m≥2）个向量

α1

，

α2

，…，

αm

线性相关，但其中任意m-1个都线性无关，证明下列结论：
（ⅰ）如果存在等式k₁

α1

+k2

α2

+⋅⋅⋅+km

αm

=

0

（k_i∈R，i=1，2，3，…，m），则这些系数k₁，k₂，…，k_m或者全为零，或者全不为零；
（ⅱ）如果两个等式k₁

α1

+k2

α2

+⋅⋅⋅+km

αm

=

0

，l₁

α1

+l2

α2

+⋅⋅⋅+lm

αm

=

0

（k_i∈R，l_i∈R，i=1，2，3，…，m）同时成立，其中l₁≠0，则

k1

l1

=

k2

l2

=⋅⋅⋅=

km

lm

．

已知集合S₂={

a

|

a

=（x,y），x∈N*，y∈N*}，O为坐标原点，若

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂），

OA

、

OB

∈S₂，定义点A、B之间的距离为d（A，B）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．
（1）若

OA

=（3，2），

OB

=（1，x），d（A，B）≤3，求x的值；
（2）记

OI

=（1，1）∈S₂，若d（I，A）=d（I，B）=p（p为常数），求d（A，B）的最大值，并写出一组此时满足条件的向量

OA

、

OB

；
（3）若

OC

=（x₃，y₃）∈S₂，试判断“存在λ＞0，使

AB

=λ

BC

”是d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）”的什么条件？并证明．

将平面直角坐标系中的一列点A₁（1，a₁），A₂（2，a₂），…，A_n（n,a_n），…记为|A_n|，设f（n）=

AnAn+1

•j,其中j为与y轴方向相同的单位向量．若对任意的正整数n,都有f（n+1）＞f（n），则称{A_n}为T点列．
（Ⅰ）判断A1(1，1)，A2(2，

1

2

)，A3(3，

1

3

)，⋅⋅⋅，An(n,

1

n

)，⋅⋅⋅是否为T点列，并说明理由；
（Ⅱ）若{A_n}为T点列，且a₂＞a₁.任取其中连续三点A_k，A_k+1，A_k+2，证明△A_kA_k+1A_k+2为钝角三角形；
（Ⅲ）若{A_n}为T点列，对于正整数k,l,m（k＜l＜m），比较

AlAm+k

•j与

Al-kAm

•j的大小，并说明理由．

已知点A（-1，0），B（0，-1），P为θ(0＜θ＜

π

2

)终边与单位圆的交点，PA与y轴交于点N，PB与x轴交于点M．
（1）设

PN

=n

PA

，

PM

=m

PB

，试用θ表示m与n；
（2）设

PO

=x

PM

+y

PN

(x,y∈R)，试用θ表示x+y,并求x+y的最小值．

如图，已知一条河的两岸平行，河的宽度为d,某人从河的北岸出发到河对岸，河水自西向东流速为|v₀|=1m/s,设某人在静水中游泳的速度为v₁，在流水中实际速度为v₂．
（1）如果要使此人游得路程最短，且|v1|=

2

m/s，求此人游泳的方向与水流方向的夹角α和v₂的大小；
（2）如果要使此人游得时间最短，且|v1|=

3

m/s，求他实际前进的方向与水流方向的夹角β和v₂的大小．

平面内给定三个向量

a

=（3，2），

b

=（-1，2），

c

=（4，1）．
（Ⅰ）若（

a

+k

c

）∥（2

b

-

a

），求实数k的值；
（Ⅱ）设

d

=（x,y），且满足（

d

-

c

）⊥（

a

-

b

）且|

d

-

c

|=

5

，求

d

的值．