已知函数f（x）=lnx+（a-1）x,a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）对任意的x＞0，f（x）≤x²e^x-lnx-4x-1恒成立，求a的取值范围．

已知函数f(x)=

1

x

+2lnx．
（1）求函数g（x）=f（x）-x的零点；
（2）证明：对于任意的正实数k,存在x₀＞0，当x∈（x₀，+∞）时，恒有k

x

＞f(x)．

在xOy平面上设椭圆Γ：

x2

m2

+y2=1(m＞1)，梯形ABCD的四个顶点均在Γ上，且AB∥CD．设直线AB的方程为y=kx（k∈R）

（1）若AB为Γ的长轴，梯形ABCD的高为

1

2

，且C在AB上的射影为Γ的焦点，求m的值；
（2）设m=

2

，直线CD经过点P（0，2），求

OC

•

OD

的取值范围；
（3）设m=

2

，|AB|=2|CD|，AD与BC的延长线相交于点M，当k变化时，△MAB的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂作一条渐近线的垂线交C于点P，垂足为Q，|QF₂|=1，|PF₁|-|PF₂|=4，M、N为双曲线左右顶点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设过点G（4，0）的动直线l交双曲线C右支于A，B两点（A在第一象限），若直线AM，BN的斜率分别为k_AM，k_BN．
（ⅰ）试探究k_AM与k_BN的比值

kAM

kBN

是否为定值．若是定值，求出这个定值：若不是定值，请说明理由；
（ⅱ）求

k

2 AM

+

1

3

kBN的取值范围．

已知a、b∈R，设函数y=f（x）的表达式为f（x）=a•x²-b•lnx（其中x＞0）．
（1）设a=1，b=0，当f（x）＞x^-1时，求x的取值范围；
（2）设a=2，b＞4，集合D=（0，1]，记g（x）=2cx-

1

x2

（c∈R），若y=g（x）在D上为严格增函数且对D上的任意两个变量s,t,均有f（s）≥g（t）成立，求c的取值范围；
（3）当a=0，b＜0，x＞1时，记h_n（x）=[f（x）]ⁿ+

1

[f(x)]n

，其中n为正整数．求证：[h₁（x）]ⁿ+2≥h_n（x）+2ⁿ．

已知双曲线E：

x2

a2

-

y2

a2

=1，点D（0，2）与双曲线上的点的距离的最小值为

3

．
（Ⅰ）求双曲线E的方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+m与圆C：x²+（y+2）²=1相切，且交双曲线E的左、右支于A，B两点，交渐近线于点M，N．记△DAB，△OMN的面积分别为S₁，S₂，当S₁-4S₂=

8

7

时，求直线l的方程．

已知函数f（x）=xe^x．
（1）求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求证：当x＞0时，f（x）＞x²．
（3）若x＞0时，f（x）-ax²≥0恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=e^x-a（x+2）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对任意两个向量

m

=（x₁，y₁），

n

=（x₂，y₂），作：

OM

=

m

，

ON

=

n

．当

m

，

n

不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为S（

m

，

n

）=|x₁y₂-x₂y₁|；当

m

，

n

共线时，规定S（

m

，

n

）=0．
（Ⅰ）分别根据下列已知条件求S（

m

，

n

）：
①

m

=（2，1），

n

=（-1，2）；②

m

=（1，2），

n

=（2，4）；
（Ⅱ）若向量

p

=λ

m

+μ

n

（λ，μ∈R，λ²+μ²≠0），
求证：S（

p

，

m

）+S（

p

，

n

）=（|λ|+|μ|）S（

m

，

n

）；
（Ⅲ）若A，B，C是以O为圆心的单位圆上不同的点，记

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

．
（ⅰ）当

a

⊥

b

时，求S（

c

，

a

）+S（

c

，

b

）的最大值；
（ⅱ）写出S（

a

，

b

）+S（

b

，

c

）+S（

c

，

a

）的最大值．（只需写出结果）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,bcosC=a+

3

3

csinB，
（1）求角B的大小；
（2）若点D在边AC上，且AD=2DC，BD=2，求△ABC面积的最大值．