如图，平面五边形ABCDE中，△ADE是边长为2的等边三角形，CD∥AE，CD=AE，∠BAD=∠ABC=

π

2

，将△ADE沿AD翻折，使点E翻折到点P．

（Ⅰ）证明：PC⊥BC；
（Ⅱ）若PC=3，求二面角P-AD-B的大小，以及直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

三年多的“新冠之战”在全国人民的共同努力下刚刚取得完胜，这给我们的个人卫生和公共卫生都提出更高的要求！某机构欲组建一个有关“垃圾分类”相关事宜的项目组，对各个地区“垃圾分类”的处理模式进行相关报道，该机构从600名员工中进行筛选，筛选方法如下：每位员工测试A，B，C三项工作，3项测试中至少2项测试“不合格”的员工，将被认定为“暂定”，有且只有一项测试“不合格”的员工将再测试A，B两项，如果这两项中有1项以上（含1项）测试“不合格”，将也被认定为“暂定”，每位员工测试A，B，C三项工作相互独立，每一项测试“不合格”的概率均为p（0＜p＜1）．
（1）记每位员工被认定为“暂定”的概率为f（p），求f（p）；
（2）每位员工不需要重新测试的费用为90元，需要重新测试的前后两轮测试的总费用为150元，所有员工除测试费用外，其他费用总计为1万元，若该机构的预算为8万元，且600名员工全部参与测试，试估计上述方案是否会超出预算，并说明理由．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，M，N分别为棱PD，BC的中点，PA=AB=2．
（Ⅰ）求证：MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2 2

3

，x轴被抛物线C₂：y=

x2

4

-b截得的线段长与C₁长轴长的比为2：3．
（1）求C₁、C₂的方程；
（2）设C₂与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C₂相交于点A、B，直线MA、MB分别与C₁相交于D、E．
（ⅰ）设直线MD、ME的斜率分别为k₁、k₂，求k₁k₂的值；
（ⅱ）记△MAB、△MDE的面积分别是S₁、S₂，求

S1

S2

的最小值．

已知函数f(x)=

x

eax

，g(x)=lnx-ax．
（1）当a=1时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的最小值；
（2）若关于x的方程f（x）+g（x）=0有两个不同的实根，证明：x1+x2＞

2

a

．

已知顶点为S的圆锥面（以下简称圆锥S）与不经过顶点S的平面α相交，记交线为C，圆锥S的轴线l与平面α所成角θ是圆锥S顶角（圆S轴截面上两条母线所成角θ的一半，为探究曲线C的形状，我们构建球T，使球T与圆锥S和平面α都相切，记球T与平面α的切点为F，直线l与平面α交点为A，直线AF与圆锥S交点为O，圆锥S的母线OS与球T的切点为M，|OM|=a,|MS|=b.

（1）求证：平面SOA⊥平面α，并指出a,b,θ关系式；
（2）求证：曲线C是抛物线．

已知函数f（x）=xe^x-ax+2．
（1）当a=

1

2

时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）对任意实数x∈（0，+∞），都有f（x）≥lnx-（a-1）x+3+a恒成立，求实数a的取值范围．

已知O为坐标原点，曲线C₁：

x2

a2

-y2=1（a＞0）和曲线C₂：

x2

4

+

y2

2

=1有公共点，直线l₁：y=k₁x+b₁与曲线C₁的左支相交于A、B两点，线段AB的中点为M．
（1）若曲线C₁和C₂有且仅有两个公共点，求曲线C₁的离心率和渐近线方程；
（2）若直线OM经过曲线C₂上的点T(

2

，-1)，且a²为正整数，求a的值；
（3）若直线l₂：y=k₂x+b₂与曲线C₂相交于C、D两点，且直线OM经过线段CD中点N，求证：

k

2 1

+

k

2 2

＞1．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，椭圆的右焦点F（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）A、B是椭圆的左、右顶点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M、N，直线AM与直线x=4交于点P．记PA、PF、BN的斜率分别为k₁、k₂、k₃，是否存在实数λ，使得k₁+k₃=λk₂？

已知函数f（x）=（x+a）e^x，a∈R．
（1）讨论f（x）在（0，+∞）的单调性；
（2）是否存在a,x₀，x₁，且x₀≠x₁，使得曲线y=f（x）在x=x₀和x=x₁处有相同的切线？证明你的结论．