为了解J市某疾病的发病情况与年龄的关系，从J市疾控中心得到以下数据：

年龄段（岁）	[20，30）	[30，40）	[40，50）	[50，60）	[60，70）
发病率（‰）	0.09	0.18	0.30	0.40	0.53

（1）若将每个区间的中点数据记为x_i，对应的发病率记为y_i（i=1，2，3，4，5），根据这些数据可以建立发病率y（‰）关于年龄x（岁）的经验回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

，求

̂

a

；
附：

̂

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

，

5

i=1

x

2 i

=11125，

5

i=1

xiyi=78.5
（2）医学研究表明，化验结果有可能出现差错．现有J市某位居民，年龄在[50，60）．A表示事件“该居民化验结果呈阳性”，B表示事件“该居民患有某疾病”．已知P（A|B）=0.99，P(

A

|

B

)=0.999，求P（B|A）（结果精确到0.001）．

大气污染物PM_2.5（大气中直径小于或等于2.5μm的颗粒物）的浓度超过一定的限度会影响人的身体健康．为了研究PM_2.5的浓度是否受到汽车流量等因素的影响，研究人员选择了24个社会经济发展水平相近的城市，在每个城市选择一个交通点建立监测点，统计每个监测点24h内过往的汽车流量（单位：千辆），同时在低空相同的高度测定每个监测点空气中PM_2.5的平均浓度（单位：μg/m³），得到的数据如下表：

城市编号	汽车流量	PM2.5浓度	城市编号	汽车流量	PM2.5浓度
1	1.30	66	11	1.82	135
2	1.44	76	12	1.43	99
3	0.78	21	13	0.92	35
4	1.65	170	14	1.44	58
5	1.75	156	15	1.10	29
6	1.75	120	16	1.84	140
7	1.20	72	17	1.11	43
8	1.51	120	18	1.65	69
9	1.20	100	19	1.53	87
10	1.47	129	20	0.91	45

（1）根据上表，若24h内过往的汽车流量大于等于1500辆属于车流量大，PM_2.5大于等于75μg/m³属于空气污染．请结合表中的数据，依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为车流量大小与空气污染有关联？
（2）设PM_2.5浓度为y,汽车流量为x.根据这些数据建立PM_2.5浓度关于汽车流量的线性回归模型，并求出对应的经验回归方程（系数精确到0.01）．
附：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，

α	0.100	0.050	0.010
xα	2.706	3.841	6.635

20

i=1

xi=27.8

20

i=1

yi=1770，

20

i=1

x

2 i

=40.537，

20

i=1

y

2 i

=193694，

20

i=1

xiyi=2680.48，在经验回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

中，

̂ b = i=1 n (xi- x )(yi- y ) i=1 n (xi- x )2 ̂ a = y - ̂ b x

．

2022年11月20日，卡塔尔足球世界杯正式开幕，世界杯上的中国元素随处可见．从体育场建设到电力保障，从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物都是中国制造，为卡塔尔世界杯提供了强有力的支持．国内也再次掀起足球热潮．某地足球协会组建球队参加业余比赛，该足球队教练组为了考查球员甲对球队的贡献，作出如下数据统计（甲参加过的比赛均分出了输赢）：

	球队输球	球队赢球	总计
甲参加	2	30	32
甲未参加	8	10	18
总计	10	40	50

（1）根据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为该球队赢球与甲球员参赛有关联；
（2）从该球队中任选一人，A表示事件“选中的球员参赛”，B表示事件“球队输球”．

P(B|A)

P( B |A)

与

P(B| A )

P( B | A )

的比值是选中的球员参赛对球队贡献程度的一项度量指标，记该指标为R．
①证明：R=

P(A|B)

P( A |B)

•

P( A | B )

P(A| B )

；
②利用球员甲数据统计，给出P（A|B），P(A|

B

)的估计值，并求出R的估计值．
附：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．
参考数据：

a	0.05	0.01	0.005	0.001
xa	3.841	6.635	7.879	10.828

如图，AC为圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，连接PB，PC，AB，BC，作AS⊥PC于点S，AN⊥PB于点N．
（1）求证：∠ASN是二面角A-PC-B的平面角；
（2）若∠ACB=30°，∠PCA=45°，求二面角A-PC-B的正弦值．

如图，在三棱台ABC-A₁B₁C₁中，面AA₁C₁C⊥面ABC，∠ACA₁=∠ACB=45°，A₁C=2BC=4．
（1）证明：B₁C₁⊥A₁B；
（2）若棱台的体积为

79 2

21

，AC=

7 2

8

A₁C，求二面角A₁-BC-B₁的余弦值．

电解电容是常见的电子元件之一．检测组在85℃的温度条件下对电解电容进行质量检测，按检测结果将其分为次品、正品，其中正品分合格品、优等品两类
（1）铝䇚是组成电解电容必不可少的材料．现检测组在85℃的温度条件下，对铝箵质量与电解电容质量进行测试，得到如下2×2列联表，那么他们是否有99.9%的把握认为电解电容质量与铝䇚质量有关？请说明理由；

	电解电容为次品	电解电容为正品
铝箔为次品	174	76
铝箔为正品	108	142

（2）电解电容经检验为正品后才能装箱，已知两箱电解电容（每箱50个），第一箱和第二箱中分别有优等品8件与9件．现用户从两箱中随机挑选出一箱，并从该箱中先后随机抽取两个元件，求在第一次取出的是优等品的情况下，第二次取出的是合格品的概率．附录：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=AD=1，PB=BD=2，AB=

3

，∠BDC=60°，且BD⊥BC．
（1）若BE∥平面PAD，证明：点E为棱PC的中点；
（2）已知二面角P-AB-D的大小为60°，当平面PBD和平面PCD的夹角为θ时，求证：

π

4

＜ θ＜ 

π

3

．

在三棱台A₁B₁C₁-ABC中，A₁A⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=BC=2A₁B₁，AC=2A₁A，M为AC的中点．
（1）证明：AC₁⊥平面A₁BM；
（2）求平面A₁BM与平面BCC₁B₁所成锐二面角的余弦值．

如图所示的几何体为一个正四棱柱被两个平面AEH与CFG所截后剩余部分，且满足BD∥平面AEH，FG∥BD，FG=BD=2

2

，AB=2GH．
（1）当BF多长时，AE⊥CG，证明你的结论：
（2）当AE⊥CG时，求平面AEH与平面CFG所成角的余弦值．

在直角梯形AA₁B₁B中，A₁B₁∥AB，AA₁⊥AB，AB=AA₁=2A₁B₁=6，直角梯形AA₁B₁B绕直角边AA₁旋转一周得到如图的圆台AA₁，已知点P，Q分别在线段CC₁，BC上，二面角B₁-AA₁-C₁的大小为θ．
（1）若θ=

2π

3

，

CP

=

2

3

CC1

，AQ⊥AB，证明：PQ∥平面AA₁B₁B；
（2）若θ=

π

2

，点P为CC₁上的动点，点Q为BC的中点，求PQ与平面AA₁C₁C所成最大角的正切值，并求此时二面角Q-AP-C的余弦值．