如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点．
（1）证明：AO⊥BC；
（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E-BC-D的大小为60°，求直线AC与平面BCE所成角的正弦值．

如图，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA=OC=3，OB=2．
（1）求点B到直线AC的距离；
（2）求直线OB与平面ABC所成角的正弦值．

如图，四棱锥P-ABCD，M为棱PB上中点，底面ABCD是边长为2的菱形，PA=PC，PD=2，∠DAC=

π

6

．
（1）证明：AC⊥PD；
（2）若PB=2

3

，求AM与平面PCD所成角的正弦值．

如图四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，SD⊥平面ABCD，点M是SA的中点，AD=SD=CD=2AB=2．用空间向量知识解答下列问题：
（1）求证：DM⊥平面SAB；
（2）求平面SAB与平面SBC的夹角．

核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽扰子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为p（0＜p＜1），现有4例疑似病例，分别对其取样、检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验．现有以下三种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：四个样本混合在一起化验；
方案三：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验．
在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”．
（1）若p=

1

3

，现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、三中哪个最“优”？
（2）若对4例疑似病例样本进行化验，且想让“方案二”比“方案一”更“优”，求p的取值范围．

“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动．某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间[7，9），[9，11），[11，13），[13，15），[15，17），[17，19]，用频率分布直方图表示如图，假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立．
（1）估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间[13，17）的概率；
（2）从全校学生中随机选取3人，记ξ表示这3人一周参加课后活动的时间在区间[15，17）的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）．

考取驾照是一个非常严格的过程，有的人并不能够一次性通过，需要补考．现在有一张某驾校学员第一次考试结果汇总表，由于保管不善，只残留了如下数据（见下表）：

成绩 性别	合格	不合格	合计
男性	45	10
女性	30
合计			105

（1）完成此表；
（2）根据此表判断：是否可以认为性别与考试是否合格有关？如果可以，请问有多大把握；如果不可以，试说明理由．
参考公式：①相关性检验的临界值表：

P（k2≥x0）	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.10
x0	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

②卡方值计算公式：k²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．其中n=a+b+c+d.

随着互联网的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，如表是某购物网站2018年1～8月促销费用（万元）和产品销量（万件）的具体数据．

月份	1	2	3	4	5	6	7	8
促销费用x	2	3	6	10	13	21	15	18
产品销量y	1	1	2	3	3.5	5	4	4.5

（1）根据数据可知y与x具有线性相关关系，请建立y关于x的回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

（系数精确到0.01）；
（2）已知6月份该购物网站为庆祝成立1周年，特定制奖励制度：用Z（单位：件）表示日销量，若Z∈[1800，2000），则每位员工每日奖励100元；若Z∈[2000，2100），每位员工每日奖励150元；若Z∈[2100，+∞），则每位员工每日奖励200元．现已知该网站6月份日销量Z服从正态分布N（2000，10000），请你计算某位员工当月奖励金额总数大约为多少元．（当月奖励金额总数精确到百分位）
参考数据：

8

i=1

xiyi=338.5，

8

i=1

xi2=1308，其中x_i，y_i分别为第i个月的促销费用和产品销量，i=1，2，3，⋅⋅⋅，8．
参考公式：①

̂

b

=

n i=1 xiyi-n x y

n i=1 x 2 i -n x 2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．
②Z～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6827，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9545．

有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据：

第n年	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
年收入/亿元（x）	32.0	31.0	33.0	36.0	37.0	38.0	39.0	43.0	45.0	x10
商品销售额/万元（y）	25.0	30.0	34.0	37.0	39.0	41.0	42.0	44.0	48.0	y10

且已知

10

i=1

xi=380.0
（1）求第10年的年收入x₁₀；
（2）收入x与该种商品的销售额y之间满足线性回归方程

̂

y

=

363

254

x+

̂

a

．
（i）10年的销售额y₁₀；
（ii）居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01）
附加：（1）回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

中，

̂

b

=

n i=1 x1yi-n x y

n i=1 xi2-n x 2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．
（2）

10

i=1

xi2-10

x

2=254.0，

9

i=1

xiyi=12875.0，

9

i=1

yi2=340.0

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B=A₁C=AA₁=2，AB⊥AC，O为BC的中点．
（1）证明：A₁O⊥平面ABC．
（2）已知AB=AC=2，在线段B₁C₁上（不含端点）是否存在点Q，使得二面角Q-A₁C-B₁的余弦值为

3

3

？若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由．