某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在[70，80）内的学生获三等奖，得分在[80，90）内的学生获二等奖，得分在[90，100）内的学生获得一等奖，其他学生不得奖，为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．
（1）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；
（2）若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N（μ，σ²），其中σ≈15，μ为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（i）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；
（ii）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．
附参考数据，若随机变量X服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973．

第24届冬奥会于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行，此项赛事大大激发了国人冰雪运动的热情，某滑雪场在冬奥会期间开业，下表统计了该滑雪场开业第x天的滑雪人数y（单位：百人）的数据
（1）根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（2）经过测算，若一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，请根据y关于x的线性回归方程，预测该滑雪场开业的第几天开始盈利．

天数代码x	1	2	3	4	5
滑雪人数y（百人）	9	11	14	26	20

参考公式：线性回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：

̂

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

=

n i=1 xiyi-n x y

n i=1 x 2 i -n x 2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

甲、乙两人参加某知识竞赛对战，甲答对每道题的概率均为

1

2

，乙答对每道题的概率均为p（0＜p＜1），两人答每道题都相互独立，答题规则：第一轮每人三道必答题，答对得10分，答错不加分也不扣分；第二轮为一道抢答题，每人抢到的概率都为

1

2

，若抢到，答对得10分，对方得0分，答错得0分，对方得5分．
（1）若乙在第一轮答题中，恰好答对两道必答题的概率为f（p），求f（p）的最大值和此时乙答对每道题的概率p₀；
（2）以（1）中确定的p₀作为p的值，求乙在第二轮得分X的数学期望．

2021年9月3日，中华人民共和国教育部召开第五场金秋新闻发布会，会上发布了第八次全国学生体质与健康调研结果．调研结果数据显示，我国大中小学的学生健康情况有了明显改善，学生总体身高水平也有所增加；但同时在超重和肥胖率上，中小学生却有一定程度上升，大学生整体身体素质也有所下滑．某市为调研本市学生体质情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，得到体质测试样本的统计数据（单位：人）如表：

	优秀	良好	及格	不及格
男生	50	100	390	60
女生	60	100	260	60

（1）根据以上统计数据，完成下面2×2列联表：

	打标	不打标	合计
男生
女生
合计

并据此判断：依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为该市学生体质测试是否达标与性别有关？（注：体质测试成绩为优秀、良好或及格则体质达标，否则不达标）
（2）体质测试成绩为优秀或良好则称体质测试成绩为优良，以样本数据中男、女生体质测试成绩优良的频率视为该市男、女生体质测试成绩优良的概率．在该市学生中随机选取2名男生，2名女生，设所选4人中体质测试成绩优良人数为X，求X的分布列及数学期望．
附：①χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

；
②

a	0.050	0.010	0.001
xa	3.841	6.635	10.828

如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=

1

2

CD=1．现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF折叠，使ED⊥DC，如图2．

（1）求证：BC⊥平面BDE；
（2）求直线DB和平面BEC所成的角的正弦值．

一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生．
（1）如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法？
（2）如果从中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，其中男生甲不能参加数学竞赛，女生乙不能参加物理竞赛，共有多少种选法？
（3）如果从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种？

海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：

（1）根据频率分布直方图，填写下面列联表；
（2）根据小概率a=0.01的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关．

养殖法	箱产量		合计
	箱产量＜50kg	箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
合计

（P（χ²≥6.635）=0.01，χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，n=a+b+c+d）

若(2x-a)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，且a₄=-560．
（1）求(1-

1

x

)(2x-a)7展开式中的常数项．
（2）求26a1+25a2+24a3+23a4+22a5+2a6+a7的值．

已知A（1，2，0），B（0，4，0），C（2，3，3）．
（1）求

AB

与y轴正方向的夹角的余弦值；
（2）已知点P（-3，m,n）在直线AC上，求m+n的值；
（3）若

AB

与

AB

+λ

AC

分别是平面α与平面β的法向量且α⊥β，求λ的值．

某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCD-A1B1

C

1

D1，其底面边长为4，高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为

2

的圆柱体的四分之一，点P为圆弧E₂F₂（包括端点）上的动点．
（1）若DB₁⊥平面D₂EF时，求点P与B₁的最短距离．
（2）若D₁D₂=3，当点P在圆弧E₂F₂（包括端点）上移动时，求平面PA₁C₁与平面A₁B₁C₁所成的锐二面角的正切值的取值范围．