已知函数f（x）=

1

2

x2+2alnx-(a+2)x,a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值．
（2）是否存在实数a,对任意的m,n∈（0，+∞），且m≠n,有

f(m)-f(n)

m-n

＞-a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

设A，B是椭圆

x2

2

+y2=1上异于P（0，1）的两点，且直线AB经过坐标原点，直线PA，PB分别交直线y=-x+2于C，D两点．
（1）求证：直线PA，AB，PB的斜率成等差数列；
（2）求△PCD面积的最小值．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，短轴长为2

3

，离心率为

10

5

，直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点A（2，0），且△AMN的面积为

510

19

，求k的值．

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），g（x）的导函数都存在，且f（x）＞xf′（x）-x²g′（x）．
（1）若f（x）=x²，g（x）=ax-

1

x

，求a的取值范围；
（2）证明：g（log₂5）+f（log₃8）•log₈3＞g（log₃8）+f（log₂5）•log₅2．

椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，短轴长为2，若斜率为-1的直线l与椭圆E交于A，B两点，且线段AB的中点为M(1，

1

3

)．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线l：y=kx+m（k＞0）与圆x²+y²=b²相切，且与椭圆E交于M，N两点，且|MN|=

3

，求直线l的方程．

已知函数f(x)=

1

3

x3-ax2+1在x=-2处有极值．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值．

已知函数f(x)=lnx-

x+1

x-1

．
（1）写出函数f（x）的单调区间，并证明：f（x）有且仅有两个零点；
（2）设x₀是f（x）的一个零点，求证：曲线y=lnx在点A（x₀，lnx₀）处的切线也是曲线y=e^x的切线．

我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线．已知椭圆C1：

x2

4

+

y2

b2

=1(0＜b＜2)，双曲线C₂是椭圆C₁的“姊妺”圆锥曲线，e₁，e₂分别为C₁，C₂的离心率，且e1e2=

15

4

，点M，N分别为椭圆C₁的左、右顶点．
（1）求双曲线C₂的方程；
（2）设过点G（4，0）的动直线l交双曲线C₂右支于A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为k_AM，k_BN．
试探究k_AM与k_BN的比值

kAM

kBN

是否为定值．若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由．

椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点到直线x-3y=0的距离为

10

5

，离心率为

2 5

5

，抛物线G：y²=2px（p＞0）的焦点与椭圆E的焦点重合，斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A，B两点，与G交于C，D两点﹒
（1）求椭圆E及抛物线G的方程；
（2）是否存在常数λ，使得

1

|AB|

+

λ

|CD|

为常数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

设全集U=R，集合A={x|x²-6x+5≤0}，非空集合B={x|2-a≤x≤1+2a}，a∈R．
（1）若a=3，求（∁_UA）∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求a的取值范围．