已知函数f(x)=lg

1+x

1-x

．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）求解不等式f（f（x））+f（lg2）＞0．

已知函数y=f（x）的表达式为f(x)=x2+

2

x

．
（1）用定义证明函数y=f（x）在（1，+∞）上是严格增函数；
（2）设函数g（x）=f（x²+1），x∈[0，2]，求g（x）的值域．

f(x)=

1

2

ax2+lnx-(a+1)x．
（1）当a=-4时，求f（x）的单调区间与极值；
（2）当a＞0时，设g(x)=

f(x)

x

，若g（x）既有极大值又有极小值，求a的取值范围．

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（2，0），O为坐标原点，过点F作直线l与一条渐近线垂直，垂足为A，与另一条渐近线相交于点B，且A，B都在y轴右侧，|OA|+|OB|=

3

|AB|．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l₁与双曲线C的右支相切，切点为P，l₁与直线l₂：x=

3

2

交于点Q，试探究以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点．

已知函数f(x)=

1

2

x2-(a+2)x+2alnx(a＞0)．
（1）当a=

1

2

时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，椭圆与x轴正半轴的交点为A，与y轴正半轴的交点为B，M在C上，MF₁垂直于x轴，O为坐标原点，且AB∥MO，|F1A|=2+2

2

．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）过F₂的直线l与椭圆C交于P，Q两点，当直线l的斜率存在时，试判断x轴上是否存在一点T，使得∠OTP=∠OTQ．若存在，求出T点的坐标；若不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=lnx-mx+m,m∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若x∈（1，+∞），证明：1＜

x-1

lnx

＜x；
（3）对于任意正整数n,(1+

1

2

)(1+

1

22

)⋯(1+

1

2n

)＜t，求t的最小正整数值．

已知双曲线C与

y2

4

-

x2

16

=1有相同的渐近线，(2

5

，2)为C上一点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设双曲线C的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁且倾斜角为45°的直线与C相交于A、B两点，求△ABF₂的面积．

已知曲线C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，且点M(1，

6

3

)和点N(-

3

3

，-

2 2

3

)在曲线C上．
（1）求曲线C的方程；
（2）若点O为坐标原点，直线AB与曲线C交于A，B两点，且满足OA⊥OB，试探究：点O到直线AB的距离是否为定值．如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为

2

2

，过左焦点F₁的直线l与椭圆C交于A，B两点（A，B不在x轴上），△ABF₂的周长为8

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P在椭圆C上，且OP⊥AB（O为坐标原点），求

|OP|2

|AB|2

的取值范围．