2020年初新冠肺炎全球爆发，我国在控制疫情的同时，也开始紧锣密鼓地研制新冠疫苗，2021年初国产新冠疫苗就开始投入使用，目前北京18岁及以上人群接种率达76.71%．疫苗正式投入使用前，都需要进行三期的临床试验，某款国药新冠疫苗进行三期临床试验时，在某地区招募了100名志愿者，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按[30，40）、[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80]分组，得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求a的值，并求该次临床试验志愿者的平均年龄（每个分组取中间值作代表）；
（Ⅱ）现从年龄在[50，60）、[70，80]的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，用X表示抽到志愿者的年龄在[70，80]的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）该疫苗结束三期试验后，需要调查该地区居民打针意愿，若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地区30岁至80岁之间的居民中抽取20名进行调查，其中有k名居民的年龄在[30，50）的概率为P_k（k=0，1，2，…，20），当P_k最大时，求k的值．（只需写出结论）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，PA=AD=4，BC=1，AB=

3

．
（1）证明：平面PCD⊥平面PAC；
（2）求AD与平面PCD所成角的余弦值．

如图，AB是圆柱底面圆的一条直径，AB=2，PA是圆柱的母线，PA=3，点C是圆柱底面圆周上的点，∠ABC=30°．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若点E在PA上且EA=

1

3

PA，求BE与平面PAC所成角的大小．

马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，X_t-2，X_t-1，X_t，X_t+1，…，那么X_t+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X_t，即P（X_t+1|…，X_t-2，X_t-1，X_t）=P（X_t+1|X_t）．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为A（A∈N^*，A＜B），赌博过程如图的数轴所示．

当赌徒手中有n元（0≤n≤B，n∈N）时，最终输光的概率为P（n），请回答下列问题：
（1）请直接写出P（0）与P（B）的数值．
（2）证明{P（n）}是一个等差数列，并写出公差d.
（3）当A=100时，分别计算B=200，B=1000时，P（A）的数值，并结合实际，解释当B→∞时，P（A）的统计含义．

已知空间向量

a

=(x,4，2)，

b

=(3，y,-1)，

c

=(1，1，z)，

a

∥

b

，

b

⊥

c

．
（1）求x,y,z；
（2）求

b

与

b

+

c

所成角的余弦值．

如图1，在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠A=30°，D在AC上，且DA=DC=

3

，作DE⊥AB于E，将△ADE沿直线DE折起到△PDE所处的位置，连接PB，PC，如图2．

（1）若平面PDE⊥平面BCDE，求证：BE⊥PD；
（2）若二面角P-DE-A为锐角，且二面角P-BC-E的正切值为

2 6

9

，求PB的长．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PB⊥平面ABCD，BC=2BD=4AD=4．
（1）证明：PD⊥CD；
（2）若PB=2，求二面角P-CD-A的平面角的大小．

在科学、文化、艺术、经济等领域，出现过大量举世瞩目的“左撇子”天才，如：相对论提出者爱因斯坦，万有引力定律的发现者牛顿，镭的发现者居里夫人，诺贝尔奖获得者杨振宁，著有《变形记》的小说家弗兰兹卡夫卡，乒乓球女将王楠等．正因为如此多的“左撇子”在不同领域取得了卓越的成就，所以越来越多的人认为“左撇子”会更聪明，这是真的吗？某学校数学社成员为了了解真相，决定展开调查．他们从学生中随机选取100位同学，统计他们惯用左手还高智商人群，统计情况如下表．是惯用右手，并通过测验获取了他们的智力商数，将智力商数不低于120视为高智商人群，统计结果如下表．

	智力商数不低于120	智力商数低于120	总计
惯用左手	4	6	10
惯用右手	16	74	90
总计	20	80	100

（Ⅰ）能否有90%的把握认为智力商数与是否惯用左手有关？
（Ⅱ）从智力商数不低于120分的这20名学生中，按惯用左手和惯用右手采用分层抽样，随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取2人代表学校参加区里的素养大赛，求这2人中至少有一人是惯用左手的概率．
参考公式：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

国际足联世界杯（FIFAWorldCup），简称“世界杯”，是由全世界国家级别球队参与，象征足球界最高荣誉，并具有最大知名度和影响力的足球赛事.2022年卡塔尔世界杯共有32支球参加比赛，共有64场比赛．某社区随机调查了街道内男、女球迷各200名，统计了他们观看世界杯球赛直播的场次，得到下面的列联表：
（1）求a的值，并完成列联表；

	少于32场比赛	不少于32场比赛	总计
男球迷	a+20	a+20
女球迷	a+40	a
总计

​（2）若一名球迷观看世界杯球赛直播的场次不少于32场比赛，则称该球迷为“资深球迷”，请判断能否有95%的把握认为该社区的一名球迷是否为“资深球迷”与性别有关．
参考公式：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(a+d)

，其中n=a+b+c+d.
参考数据：​

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	10.828

学校为提升高一年级学生自主体育锻炼的意识，拟称每周自主进行体育锻炼的时间不低于6小时的同学称为“体育迷”并予以奖励，为了确定奖励方案，先对学生自主体育锻炼的情况进行抽样调查，学校从高一年级随机抽取100名学生，将他们分为男生组、女生组，对每周自主体育锻炼的时间分段进行统计（单位：小时）第一段[0，2），第二段[2，4），第三段[4，6），第四段[6，8），第五段[8，10]．将男生在各段的频率及女生在各段的频数用折线图表示如下：

（1）求折线图中m的值，并估计该校高一年级学生中“体育迷”所占的比例；
（2）填写下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为是否为“体育迷”与学生的性别有关？

	体育迷	非体育迷	合计
男
女
合计

附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2≥K0）	0.050	0.010	0.001
K0	3.841	6.635	10.828

（3）若中学生每周自主体育锻炼的时间不低于5小时，才能保持身体的良好健康发展，试估计该校高一年级学生的周平均锻炼时间是否达到保持身体良好健康发展的水平？（同一段中的数据用该组区间的中点值代表）