第24届北京冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京和张家口联合举办，某中学共有学生：1200名，其中男生640名，女生560名，按性别分层抽样，从中抽取60名学生进行调查，了解他们是否参与过滑雪运动．情况如下：

	参与过滑雪	未参与过滑雪
男生	20	m
女生	x	y

​（1）若x≥10，y≥10，求参与调查的女生中，参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生多的概率；（2）若参与调查的女生中，参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生少8人，试补充以上2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“该校学生是否参与过滑雪运动与性别有关”．
附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+d)(a+c)(b+d)

，n=a+b+c+d.

P（K2≥k0 ）	0.100	0.050	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	10.828

已知x⁷=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₇（x+1）⁷．求：
（1）a₁+a₂+a₃+…+a₇；
（2）a₁+a₃+a₅+a₇；
（3）a₄+a₅．

受社会对高素质人才不断扩大的需求和就业形势等多方面因素的影响，我国本科毕业生中考研人数在不断攀升，2021年考研人数是377万人，2022年考研人数为457万人，比上年增加80万人，有关机构估计2023年研究生报名人数将突破500万人．某省统计了该省五所大学2022年的本（专）科大学毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如表表格：

	A大学	B大学	C大学	D大学	E大学
2022年毕业人数x（千人）	7.8	6.2	4.6	3.4	3
2022年考研人数x（千人）	0.5	0.4	0.3	0.2	0.2

（1）已知y与x具有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

；
（2）假设该省对选择考研的大学生每人发放0.6万元的补贴．若A大学的2022年的毕业生中小常、小郭选择考研的概率分别为p、3p-1，该省对小常、小郭两人的考研补贴总金额的期望不超过0.96万元，求p的取值范围．
参考公式：

̂

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

=

n i=1 xiyi-n x • y

n i=1 x 2 i -n x 2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．

某商店销售某种产品，为了解客户对该产品的评价，现随机调查了200名客户，其评价结果为“一般”或“良好”，并得到如下列联表：

	一般	良好	合计
男	20	100	120
女	30	50	80
合计	50	150	200

（1）通过计算判断，有没有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？
（2）利用样本数据，在评价结果为“良好”的客户中，按照性别用分层抽样的方法抽取了6名客户．若从这6名客户中随机选择2名进行访谈，求所抽取的2名客户中至少有1名女性的概率．
附表及公式：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

其中K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，n=a+b+c+d.

某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒10元的价格全部处理完．店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓的日销售量（单位：十盒），获得如下数据：

日销售量/十盒	7	8	9	10
天数	8	12	16	4

​假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．
（1）记每两天中销售草莓的总盒数为X（单位：十盒），求X的分布列和数学期望；
（2）以两天内销售草莓获得利润较大为决策依据，在每两天进16十盒，17十盒两种方案中应选择哪种？

住房和城乡建设部等六部门发布通知提出，到2025年，农村生活垃圾无害化处理水平明显提升．我国生活垃圾主要有填埋、焚烧与堆肥三种处理方式，随着我国垃圾处理结构的不断优化调整，焚烧处理逐渐成为市场主流．根据国家统计局公布的数据，对2013—2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y（单位：座）进行统计，得到如下表格：

年份	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019	2020
年份代码x	1	2	3	4	5	6	7	8
生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y	166	188	220	249	286	331	389	463

（1）由表中数据可知，可用线性回归模型拟合y与x之间的关系，请用相关系数加以说明；（精确到0.01）
（2）求出y关于x的线性回归方程，并预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数；
（3）对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用所求的线性回归方程预测吗？请简要说明理由．
参考公式：相关系数r=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2 n i=1 (yi- y )2

，回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

̂

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．
参考数据：

8

i=1

yi=2292，

8

i=1

x

2 i

=204，

8

i=1

y

2 i

=730348，

8

i=1

xiyi=12041，573²=328329，

105

≈10.25，

7369

≈85.84．

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，AA₁=4，O为侧面AA₁C₁C的对角线的交点，E为棱BC的中点．
（1）求证：OE∥平面A₁BC₁；
（2）求直线OE与平面ABC₁所成角的正弦值．

在△ABC中，∠ACB=45°，BC=3，过点A作AD⊥BC，交线段BC于点D（如图1），沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2），点E，M分别为棱BC，AC的中点．

（1）求证：CD⊥ME；
（2）在①图1中tan2B=-

4

3

，②图1中

AD

=

2

3

AB

+

1

3

AC

，③图2中三棱锥A-BCD的体积最大．
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再解答问题．
问题：已知____，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求平面BMN与平面CBN的夹角的余弦值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

卡塔尔世界杯的吉祥物“拉伊卜”引发网友和球迷喜爱，并被亲切地称为“饺子皮”．某公司被授权销售以“拉伊卜”为设计主题的精制书签、该精制书签的生产成本为50元/个，为了确定书签的销售价格，该公司对有购买精制书签意向的球迷进行了调查，共收集了200位球迷的心理价格来估计全部球迷的心理价格分布、这200位球迷的心理价格对应人数比例分布如图：
若只有在精制书签的销售价格不超过球迷的心理价格时，球迷才会购买精制书签．公司采用常见的饥饿营销的方法刺激球迷购买产品，规定每位球迷最多只能购买一个该精制书签．设每位球迷是否购买该精制：书签相互独立，精制书签的销售价格为x元/个（60≤x≤90）．
（1）若x=80，已知某时段有3名球迷有购买意向而咨询公司，设X为这3名球迷中购买精制书签的人数，求X的分布列和期望；
（2）假设共有Z名球迷可能购买该精制书签，请比较当精制书签的售价分别定为70元和80元时，哪种售价对应的总利润的期望最大？

某国在实弹演习中分析现有导弹技术发展方案的差异，有以下两种方案：
方案1：发展一弹多头主动制导技术，即一枚一弹多头导弹的弹体含有3个弹头，每个弹头独立命中的概率均为0.415，一枚弹体至少有一个弹头命中即认为该枚导弹命中，演习中发射该导弹10枚；
方案2：发展一弹一头导弹的机动性和隐蔽性，即一枚一弹一头导弹的弹体只含一个弹头，演习中发射该导弹30枚，其中22枚命中．
（1）求一枚一弹多头导弹命中的概率（精确到0.001），并据此计算本次实战演习中一弹多头导弹的命中枚数（取0.585³≈0.200，0.415³≈0.0711，结果四舍五入取整数）；
（2）结合（1）的数据，根据小概率值α=0.050的独立性检验，判断本次实战演习中两种方案的导弹命中率是否存在明显差异．
附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

​