（1）已知圆C1：x2+y2=10与圆C2：x2+y2+2x+2y-14=0．证明圆C₁与圆C₂相交；并求两圆公共弦所在直线的方程；
（2）求圆心既在第一象限又在直线3x-y=0上，与x轴相切，且被直线x-y=0截得的弦长为2

7

的圆的方程．

已知函数f(x)=ln(x+1)+

ax

x+1

（a∈R）．
（1）当x∈[0，+∞）时，f（x）≥0，求实数a的取值范围；
（2）证明：ln(n+1)＞

1

22

+

2

32

+⋯+

n-1

n2

（n∈N^*）．

已知函数f（x）=e^x+e^-x．
（1）当x∈[0，+∞）时，试判断f（x）单调性并加以证明；
（2）若存在x∈[-ln2，ln3]，使得f（2x）-mf（x）+3≥0成立，求实数m的取值范围．（提示：a^2x+a^-2x=（a^x+a^-x）²-2（其中a＞0且a≠1））

已知函数f（x）=e^x-1+ax.
（1）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；
（2）当m≥1时，证明lnx+

mex

x

-sinx＞1恒成立．

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过A(1，

6

2

)，B(

3

，

2

2

)两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知Q（4，0），过P（1，0）的直线l与E交于M，N两点，求证：

|MP|

|NP|

=

|MQ|

|NQ|

．

已知动点P到点F（1，0）的距离与到直线l：x=4的距离之比为

1

2

，记点P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）曲线E与x轴正半轴交于点M，过F的直线交曲线E于A，B两点（异于点M），连接AM，BM并延长分别交l于D，C，试问：以CD为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点，若不是，说明理由．

已知函数f（x）=ax³+bx²（a∈R）在x=2处取得极小值-4．
（1）求f（-1）的值；
（2）求f（x）在区间[-1，4]上的最大值．

某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.7，第二关、第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.2，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加．假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．
（1）求甲未获得奖金的概率；
（2）求甲和乙最后所得奖金之和为900元的概率．

2023年亚运会在中国杭州举办，开幕式门票与其他赛事门票在网上开始预定，亚奥理事会规定：开幕式门票分为A、B两档，当预定A档未成功时，系统自动进入B档预定已知获得A档门票的概率是

1

5

，若未成功，仍有

1

4

的概率获得B档门票的机会；而成功获得其他赛事门票的概率均为

1

2

，且获得每张门票之间互不影响．甲预定了一张A档开幕式2门票，一张赛事门票；乙预定了两张赛事门票．
（Ⅰ）求甲乙两人都没有获得任何门票的概率；
（Ⅱ）求乙获得的门票数比甲多的概率．

甲、乙两人进行围棋比赛，两人共比赛两局，每局比赛甲赢的概率为0.6，两人平局的概率为0.1，设每局的胜方得3分，负方得-1分，若该局为平局，则两人各得2分．
（1）求甲、乙各赢一局的概率；
（2）记两局结束后甲的最后得分为X，求X的数学期望．