已知集合A={a₁，a₂，…，a_n}（0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n∈N^*，n≥3）具有性质P：对任意i,j（1≤i≤j≤m），a_i+a_j与a_j-a_i至少一个属于A．
（1）分别判断集合M={0，2，4}，与N={1，2，3}是否具有性质P，并说明理由；
（2）证明：0∈A；
（3）A={a₁，a₂，a₃}具有性质P，当a₂=4时，求集合A．

对于任意有限集S，T，定义集合S-T={x|x∈S，x∉T}，|S|表示S的元素个数．已知集合A，B为实数集R的非空有限子集，设集合C={x|x=a+b,a∈A，b∈B}．
（1）若A={1，2，3}，B={-1，1}，求集合C和|C|；
（2）已知D为有限集，若D⊂（0，+∞），证明：|A-D|+|B-D|+|D-C|≥1．
（3）若|C|=3，求|A|•|B|的值．

（1）集合A={x|x∈N，且

4

2-x

∈Z}，用列举法表示A；
（2）用描述法表示图中的阴影部分（包括边界）；
（3）集合M中的元素为自然数，且满足x∈M，8-x∈M，则满足题设条件的集合M共有多少个？

已知正整数n≥5，集合S_n={X|X=（x₁，x₂，⋯，x_n），x_i∈{0，1}，i=1，2，⋯，n}．对于S_n中的元素A=（a₁，a₂，⋯a_n），B=（b₁，b₂，⋯b_n），定义A•B=a₁b₁+a₂b₂+⋯+a_nb_n．
令T_n={X∈S_n|X•X=3}．
（Ⅰ）直接写出T₆的两个元素及T₆的元素个数；
（Ⅱ）已知A₁，A₂，⋯，A_m∈T₆，满足对任意1≤i＜j≤m,都有A_i•A_j=1，求m的最大值；
（Ⅲ）证明：对任意A₁，A₂，⋯，A_n+1∈T_n，总存在1≤i＜j≤n+1，使得A_i•A_j=1．

对于实数a,b的不同取值，求关于x的方程（a+1）x=3b-1的解集．

有限个元素组成的集合A={a₁，a₂，...a_n}，n∈N^*，记集合A中的元素个数为card（A），即card（A）=n.定义A+A={x+y|x∈A，y∈A}，集合A+A中的元素个数记为card（A+A），当cand（A+A）=

n(n+1)

2

时，称集合A具有性质P．
（1）A={1，4，7}，B={2，4，8}，判断集合A，B是否具有性质P，并说明理由；
（2）设集合A={a₁，a₂，a₃，2022}，a₁＜a₂＜a₃＜2022且a_i∈N^*（i=1，2，3），若集合A具有性质P，求a₁+a₂+a₃的最大值．

设集合S，T，S⊆N*，T⊆N*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x,y∈S，若x≠y,都有xy∈T；
②对于任意x,y∈T，若x＜y,则

y

x

∈S．
（1）分别对S={1，2，4}和S={2，4，8}，求出对应的S∪T；
（2）如果当S中恰有三个元素时，S∪T中恰有4个元素，证明：S中最小的元素是1；
（3）如果S恰有4个元素，求S∪T的元素个数．

设集合S，T，S⊆N^*，T⊆N^*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意x,y∈S，若x≠y,都有xy∈T；②对于任意x,y∈T，若x＜y,则

y

x

∈S；
（1）判断下列两组集合是否满足要求：
（ⅰ）若S={1，2，4，8}，则T={2，4，8，16，32}；
（ⅱ）若T={8，16，32，64，128}，则S={2，4，8，16}；
（2）证明：若S有4个元素，则S∪T有7个元素．

对正整数n,记I_n={1，2，3，⋯，n}，Pn={

m

k

|m∈In，k∈In}．
（1）用列举法表示集合P₃；
（2）求集合P₇中元素的个数；
（3）若集合A中任意两个元素之和都不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．已知集合P_n能分成两个不相交的稀疏集的并集，求n的最大值．

对于正整数集合A，记A-{a}={x|x∈A，x≠a}，记集合X所有元素之和为S（X），S（∅）=0．若∃x∈A，存在非空集合A₁、A₂，满足：①A₁∩A₂=∅；②A₁∪A₂=A-{x}；③S（A₁）=S（A₂）称A存在“双拆”．若∀x∈A，A均存在“双拆”，称A可以“任意双拆”．
（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；
（2）A={a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}，证明：A不能“任意双拆”；
（3）若A可以“任意双拆”，求A中元素个数的最小值．