在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利于采光，其中一角如图所示，为多面体ABCDE-A₁B₁C₁D₁E₁，AB⊥AE，AE∥BC，AB∥ED，AA₁⊥底面ABCDE，四边形A₁B₁C₁D₁是边长为2的正方形且平行于底面，AB∥A₁B₁，D₁E，B₁B的中点分别为F，G，AB=AE=2DE=2BC=4，AA₁=1．

（1）证明：FG∥平面C₁CD；
（2）求平面C₁CD与平面AA₁B₁B夹角的余弦值；
（3）一束光从玻璃窗面C₁CD上点C₁射入恰经过点A（假设此时光经过玻璃为直射），求这束光在玻璃窗C₁CD上的入射角的正切值．

非物质文化遗产是一个国家和民族历史文化成就的重要标志，是优秀传统文化的重要组成部分．
1993年，黑龙江省海伦市被国家命名为“中国民间艺术—剪纸之乡”称号．海伦剪纸是黑龙江省海伦的东方红、护林、双录、伦河、海兴、海北、长发等地的剪纸．特点是画幅较大，风格粗犷，刀锋稚拙而有力，是一种传统的民间艺术．为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行4轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”．4轮比赛中，至少获得3次“巧手奖”的同学将进入决赛．某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各4幅，其中有3幅规定作品和2幅创意作品符合入选标准．
（Ⅰ）从这8幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获得“巧手奖”的概率；
（Ⅱ）以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率．经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了

1

4

（两类作品的概率均有提高），以获得“巧手奖”的次数的数学期望为参考，试预测该同学能否进入决赛？

四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥面ABCD，∠BAD=120°，过点A且与PD平行的平面α与CD，PC分别交于E，F两点．
（Ⅰ）证明：PD∥EF；
（Ⅱ）若E为CD中点，且PC与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A-EF-D的正弦值．

如图，在三棱锥P-ABC中，H为△ABC的内心，直线AH与BC交于M，∠PAB=∠PAC，∠PCA=∠PCB．
（1）证明：平面PAM⊥平面ABC；
（2）若AB⊥BC，PA=AB=3，BC=4，求二面角M-PA-C的余弦值．

在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是一个菱形，且∠ABC=60°，AB=2，PA=3，PA⊥平面ABCD．
（1）若Q是线段PC上的任意一点，证明：平面PAC⊥平面QBD；
（2）当CQ=

1

3

CP时，求平面PBC与平面QBD的夹角的余弦值．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PD=2，E，F分别是PB，CD的中点，AB⊥EF
（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）求二面角P-CE-F的余弦值．

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，AP⊥平面CDP，AP=DP．
（1）求证：平面ABCD⊥平面ADP；
（2）若Q是DP中点，求直线BP与平面BCQ所成角的正弦值．

2016～2020年广西城乡居民人均可支配收入的柱形图如图所示．
（1）不考虑价格因素，求广西2020年农村居民人均可支配收入的年增长率（结果精确到0.1%）．
（2）现欲了解广西各年城镇居民人均可支配收入y（单位：元）与农村居民人均可支配收入x（单位：元）是否存在较好的线性关系．设广西2016年城镇居民人均可支配收入为y₁元，农村居民人均可支配收入为x₁元，2017年对应的数据分别为y₂，x₂，2018年对应的数据分别为y₃，x₃，2019年对应的数据分别为y₄，x₄，2020年对应的数据分别为y₅，x₅．根据图中的五组数据，得到y关于x的线性回归方程为

̂

y

=1.71x+m．试问y关于x的线性相关系数r是否大于0.95，并判断y与x之间是否存在较好的线性关系．
参考数据：1.71×

5

i=1

(xi-12522)2≈21732390，

5 i=1 (yi- y )2

≈6140，

127090

≈356．
附：样本的相关系数r=

n i=1 (x1- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2 n i=1 (yi- y )2

，
线性回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

中的系数

̂

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PD=CD=1，BC=

2

，M为BC的中点．
（1）证明：PB⊥AM．
（2）求二面角B-AP-M的平面角的余弦值．

造林绿化对生态发展特别是在防风固沙、缓解温室效应、净化空气、涵养水源等方面有着重要意义．某苗木培养基地为了对某种树苗的高度偏差x（单位：cm）与树干最大直径偏差y（单位：mm）之间的关系进行分析，随机挑选了8株该品种的树苗，得到它们的偏差数据（偏差是指个别测定值与测定的平均值之差）如下：

树苗序号	1	2	3	4	5	6	7	8
高度偏差x	20	15	13	3	2	-5	-10	-18
直径偏差y	6.5	3.5	3.5	1.5	0.5	-0.5	-2.5	-3.5

（1）若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）若这种树苗的平均高度为120cm,树干最大直径平均为31.5mm,试由（1）的结论预测高度为128cm的这种树苗的树干最大直径为多少毫米．
参考数据：

8

i=1

xiyi=324，

8

i=1

x

2 i

=1256．
参考公式：回归直线方程

̂

y

=

̂

a

+

̂

b

x中斜率和截距的最小二乘估计：

̂

b

=

n i=1 xiyi-n x y

n i=1 x 2 i -n x 2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．