已知点A（0，-2），椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为

2 3

3

，O为坐标原点．
（1）求E的方程；
（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，且

AP

=

1

2

AQ

，求△OPQ的面积及直线l的方程．

已知f（x）=lnx-ax+1（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f(x)≤

1

2

ax2-x对x∈（0，+∞）恒成立，求整数a的最小值．

已知函数f（x）=e^x-2ax-1（a∈R）．
（1）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值集合；
（2）求证：对∀n≥N^*，都有sin(

1

n+1

)n+1+sin(

2

n+1

)n+1+sin(

3

n+1

)n+1+⋯+sin(

n

n+1

)n+1＜

1

e-1

．

已知函数f（x）=（x+n）lnx.
（1）若n=1，求函数g（x）=f（x）-k（x-1）（k＞2）的零点个数，并说明理由；
（2）当n=0时，若方程f（x）=b有两个实根x₁，x₂，且x₁＜x₂，求证：be+1＜x₂-x₁＜

e-3+2+3b

2

．

已知函数f（x）=lnx+

a

x

（a＞0）．
（1）若a=2，求函数f（x）的图象在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围．

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过A（0，2），B（-3，-1）两点．
（1）求椭圆上的动点T到N（1，0）的最短距离；
（2）直线AB与x轴交于点M（m,0），过点M作不垂直于坐标轴且与AB不重合的直线l与椭圆交于C，D两点，直线AC，BD分别交直线x=m于P，Q两点．求证：

|PM|

|MQ|

为定值．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，点T（2，1）在椭圆上，与OT平行的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线TP，TQ分别于x轴正半轴交于M，N两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求证：|OM|+|ON|为定值．

随着中国实施制造强国战略以来，中国制造（Madeinchina）逐渐成为世界上认知度最高的标签之一，企业也越来越重视产品质量的全程控制．某企业从生产的一批产品中抽取40件作为样本，检测其质量指标值，质量指标的范围为[50，100]，经过数据处理后得到如下频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中质量指标值的平均数和中位数（结果精确到0.1）；
（2）为了进一步检验产品质量，在样本中从质量指标在[50，60）和[90，100]的两组中抽取2件产品，记取自[50，60）的产品件数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

如图所示的在多面体中，AB=AD，EB=EC，平面ABD⊥平面BCD，平面BCE⊥平面BCD，点F，G分别是CD，BD中点．
（1）证明：平面AFG∥平面BCE；
（2）若BC⊥BD，BC=BD=2，AB=

2

，BE=

5

，求平面AFG和平面ACE夹角的余弦值．

某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．
（1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X的分布列和数学期望；
（2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y的分布列和数学期望；
（3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．