如图，平面直角坐标系xOy中，直线l与y轴的正半轴及x轴的负半轴分别相交于P，Q两点，与椭圆E：

x2

4

+

y2

3

=1相交于A，M两点（其中M在第一象限），且

QP

=

PM

，N与M关于x轴对称，延长NP交㮋圆于点B．
（1）设直线AM，BN的斜率分别为k₁，k₂，证明：

k1

k2

为定值；
（2）求直线AB的斜率的最小值．

已知直线l₁：y=x和直线l₂：y=-x,过动点E（x₀，y₀）作平行l₂的直线交l₁于点A，过动点E作平行l₁的直线交l₂于点B，且四边形OAEB（O为原点）的面积为1．
（Ⅰ）求动点E的轨迹方程；
（Ⅱ）当动点E的轨迹的焦点在x轴上时，记动点E的轨迹为曲线E₀，若过（-2，0）的直线l与曲线E₀交于P，Q两点，在曲线E₀上是否存在点H，使△PQH的重心为原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=xe^x+1．
（1）求f（x）的极值；
（2）当x＞0时，f（x）≥（a+1）x+lnx+2，求实数a的取值范围．

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过A（0，1），T(-

8

5

，-

3

5

)两点，M，N是椭圆E上异于T的两动点，且∠MAT=∠NAT，若直线AM，AN的斜率均存在，并分别记为k₁，k₂．
（1）求证：k₁k₂为常数；
（2）求△AMN面积的最大值．

已知函数f（x）=e^x-x²-ax,a∈R．
（1）若f（x）为R上的增函数，求a的取值范围；
（2）若f（x）≥-x²+3x+b在x∈R内恒成立，b∈R，求2a+b的最大值．

已知函数f（x）=ae^x-x²有两个极值点x₁、x₂．
（1）求a的取值范围；
（2）若x₂≥3x₁时，不等式x₁+λx₂≥2x₁x₂恒成立，求λ的最小值．

已知函数f(x)=ax-

4a

x

，g(x)=ln

x

2

．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）F（x）=g（x）-f（x），0＜a＜

1

4

，x＞0．
（ⅰ）证明F(x)+F(

4

x

)=0；
（ⅱ）求函数F（x）在区间(0，

1

a2

)上零点的个数证明．

已知圆C过点M（-3，2），圆心C在直线x-y+3=0上，且圆C与x轴相切．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点P（2，3）的直线l与圆C相交于A、B两点，若△ABC为直角三角形，求直线l的方程．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，且经过点A(1，-

3

2

)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过A作两直线与抛物线y=mx²（m＞0）相切，且分别与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率分别为k₁，k₂．
①求证：

1

k1

+

1

k2

为定值；
②试问直线PQ是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

已知点P（0，2），点A，B分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右顶点，直线BP交曲线C于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且

BQ

=

2

3

QP

．
（1）求C的方程；
（2）设过点P的动直线l与C相交于M，N两点．当以MN为直径的圆过坐标原点O时，求直线l的斜率．