如图1，在平面六边形ADCFBE中，四边形ABCD是边长为的

2

正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，分别以AC，BC，AB为折痕把△ADC，△BCF，△ABE折起，使点D，F，E重合于点P，得到如图2所示的三棱锥P-ABC．
（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；
（2）若点M是棱PA上的一点，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角M-BC-A的余弦值．

某一部件由4个电子元件按如图方式连接而成，4个元件同时正常工作时，该部件正常工作，若有元件损坏则部件不能正常工作，每个元件损坏的概率为p（0＜p＜1），且各个元件能否正常工作相互独立．

（1）当p=

1

5

时，求该部件正常工作的概率；
（2）使用该部件之前需要对其进行检测，有以下2种检测方案：
方案甲：将每个元件拆下来，逐个检测其是否损坏，即需要检测4次；
方案乙：先将该部件进行一次检测，如果正常工作则检测停止，若该部件不能正常工作则需逐个检测每个元件；
进行一次检测需要花费a元．
①求方案乙的平均检测费用；
②若选方案乙检测更划算，求p的取值范围．

如图在四棱锥P-ABCD中，PA=PD=DC=

1

2

AB=2，AB∥CD，∠APD=∠ABC=90°，平面PAD⊥平面ABCD，E为PA的中点．
（1）求证：DE∥面PBC；
（2）点Q在棱PB上，若二面角P-AD-Q的余弦值为

5

5

，试确定点Q的位置．

如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是菱形．∠DAB=120°，PA=AD=2，PC=PD=2

2

，点E是棱PC的中点．
（1）证明：PC⊥BD；
（2）求平面PAB与平面BDE所成角的余弦值．

0、1、2、3、4、5这六个数．
（1）可组成没有重复数字的5位数中的偶数多少个？
（2）可组成没有重复数字的5位数中比24305大的数有多少个？

某企业2021年经营业绩和上年同期相比增长速度加快，在手和预期订单好过去年，工厂满负荷生产．企业想让员工通过加班生产，来满足客户交货需求．为了了解员工对加班的态度，随机抽取了200名员工进行调查，所得数据如下表所示：

	愿意加班	不愿意加班	合计
家庭条件一般		40	100
家庭条件挺好	30
合计

​（1）完成列联表；
（2）能否有99.9%的把握认为员工“是否愿意加班”与员工家庭条件有关？
附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	10.828

​

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2CA=2CB=4，AC⊥BC，

BB

1=2

BM

为C₁M上一点．
（1）证明：平面A₁MC₁⊥平面AMC；
（2）若点P到平面A₁ABB₁的距离为

2

2

，求平面APC与平面APM夹角的余弦值．

如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，AD=2，AB=3，PA=PD=

10

，平面PAD⊥平面ABCD．O是AD的中点，E是PB上一点，且AE∥平面POC．
（1）求PB的值；
（2）求直线CE与平面POC所成角的正弦值．

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面BB₁C₁C为菱形．
​
（1）（如图1）若点P为△ABC内任一点，作出C₁P与面ACB₁的交点M（作出图像并写出简单的作图过程，不需证明）；
（2）（如图2）若面ACB₁⊥面BB₁C₁C，AC⊥AB₁，AC=AB₁，∠CBB₁=60°，求二面角A-A₁B₁-C₁的余弦值．

某校即将举办春季运动会，组委会对一项新增的运动项目进行了调查，以了解学生对该项目是否有兴趣．组委会随机抽取1000人进行问卷调查，经统计知男女生人数之比为3：2，对该项目没有兴趣的学生有480人，其中女生占

1

3

．
（1）完成2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为对该项目有兴趣与性别有关？

	有兴趣	没有兴趣	总计
男
女
总计

（2）若从对该运动项目没有兴趣的学生中按性别用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选出2人进一步了解没有兴趣的原因，求选出的2人均为男生的概率．
附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828