如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为C₁D₁中点，且AA₁=2AB=4．
（1）证明：AD₁∥平面BCC₁B₁；
（2）求DM与平面AMD_I所成角的正弦值．

一副标准规格的三角板按图（1）方式摆放构成平面四边形ABDC，E为CD的中点．将△ABC沿BC折起至△PBC，连接PE，使得PE=BD，如图（2）．
（1）证明：平面PBC⊥平面BCD．
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，BB1=3

6

，D是AC的中点，点E在BB₁上且BE=

2

3

BB1．
（1）求证：DE⊥平面A₁C₁E；
（2）求二面角D-A₁E-A的余弦值．

如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，AD=2BC，M是棱PD上靠近点P的三等分点．
（1）证明：PB∥平面MAC；
（2）画出平面PAB与平面PCD的交线l,并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，PA⊥AD，PA=AD=2AB=2，求l与平面MAC所成角的正弦值．

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=2，BD₁和B₁D交于点E，F为AB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求
（i）平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值；
（ii）点A到平面CEF的距离．
条件①：CE⊥B₁D；
条件②：B₁D与平面BCC₁B₁所成角为

π

4

．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

如图，在正六棱锥P-ABCDEF中，AB=2，表面积为24

3

．
（1）证明：平面PAE⊥平面PFC；
（2）求二面角B-PD-A的余弦值．

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，E是A₁D₁的中点，F为线段BC上一点，AB=2，AA₁=1，∠BAD=60°．
（1）证明：当BF=FC时，AE⊥平面DEF；
（2）是否存在点F，使二面角A-DE-F的余弦值为

1

5

？若存在，请指出点F的位置；若不存在，请说明理由．

已知(4+x)(7-2x)6=a0+a1x+⋯+a7x7．在以下A，B，C三问中任选两问作答，若三问都分别作答，则按前两问作答计分，作答时，请在答题卷上标明所选两问的题号．
（A）求a₅；
（B）求log₅（a₀+a₁+⋯+a₇）；
（C）设m=7⁶，证明：4a1+42a2+⋯+47a7=8-4m．

已知（1-2x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ（n∈N^*），该展开式二项式系数和为32．
（1）求n的值；
（2）求a₀+a₁+a₂+…+a_n的值．

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为AC的中点，AB=BC=2，∠AA₁B₁=∠B₁BC．
（1）证明：BB₁⊥AC；
（2）若BB₁⊥BC，且满足：三棱柱ABC-A₁B₁C₁的积为3

3

，二面角A-BB₁-C的大小为60°，求二面角B-B₁D-C₁的正弦值．