89071 难度：3

如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PAB⊥底面ABC，∠PAB=∠BAC=150°，PA=AC=4，AB=4

3

，E、F分别是PB、BC的中点．
（1）求证：AB⊥EF；
（2）求四棱锥A-PEFC的体积．

89072 难度：4

如图，圆台O₁O₂的轴截面为等腰梯形A₁ACC₁，AC=2AA₁=2A₁C₁=4，B为底面圆周上异于A，C的点．

（1）在平面BCC₁内，过C₁作一条直线与平面A₁AB平行，并说明理由；
（2）设平面A₁AB∩平面C₁CB=l,Q∈l,BC₁与平面QAC所成角为α，当四棱锥B-A₁ACC₁的体积最大时，求sinα的取值范围．

89073 难度：3

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA1=

2

，点E在棱DD₁上，且AE⊥A₁D．
（1）证明：AE⊥A₁C；
（2）求三棱锥E-A₁CD的体积．

89074 难度：3

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC与BD交于点O，点E，F分别为AA₁，CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：平面B₁D₁F∥平面BEO；
（Ⅱ）若正方体的棱长为2，求三棱锥F-BEO的体积．

89075 难度：3

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2BC=2，AA₁=4，P为棱AB的中点．
（1）证明：平面PCD₁⊥平面PDD₁；
（2）画出平面D₁PC与平面A₁ADD₁的交线，并说明理由；
（3）求过D₁，P，C三点的平面α将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比．

89076 难度：2

如图甲，在四边形PBCD中，PD∥BC，PB=BC=CD=AD=PA．现将△ABP沿AB折起得图乙，点M是PD的中点．证明：
（1）PC⊥AB；
（2）PC⊥平面ABM．

89077 难度：3

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面BB₁C₁C为菱形，∠CBB₁=60°，AB⊥B₁C．
（1）证明：B₁C⊥AC₁；
（2）若AC⊥AB₁，AB=BC=2，求四棱锥A-BCC₁B₁的体积．

89078 难度：3

如图①，已知△AB′C是边长为2的等边三角形，D是AB'的中点，DH⊥B'C，如图②，将△B'DH沿边DH翻折至△BDH．

（1）在线段BC上是否存在点F，使得AF∥平面BDH？若存在，求

BF

FC

的值；若不存在，请说明理由；
（2）若平面BHC与平面BDA所成的二面角的余弦值为

1

3

，求三棱锥B-DCH的体积．

89079 难度：3

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DA⊥AB，DA=AB=4，△BCD为等腰三角形，且CD=CB=2

3

．
（1）证明：D₁B⊥A₁C₁；
（2）设侧棱DD₁=4，点E在BD₁上，当△ACE的面积最小时，求三棱锥E-ABC的体积．

89080 难度：3

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，且PA=AD=CD=2，BC=3，E是PD的中点，点F在PC上，且PF=2FC．
（1）证明：DF∥平面PAB；
（2）求三棱锥P-AEF的体积．