已知函数y=f（x）的表达式为f(x)=

1

2

ax2+(a+1)x+lnx(a∈R)．
（1）若1是f（x）对的极值点，求a的值．
（2）求f（x）的单调区间．
（3）若f(x)=

1

2

ax2+x有两个实数解x₁，x₂（x₁＜x₂），
（i）直接写出a的取值范围；
（ii）λ为正实数，若对于符合题意的任意x₁，x₂，当s=λ（x₁+x₂）时都有f'（s）＜0，求λ的取值范围．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，且过A（2，1）．
（1）求C的方程；
（2）若B，P为C上不与A重合的两点，O为原点，且

OP

=λ

OA

+μ

OB

，λ²+μ²=1，
①求直线OB的斜率；
②与OB平行的直线l与C交于M，N两点，求△AMN面积的最大值．

在①C的渐近线方程为y=±x②C的离心率为

2

这两个条件中任选一个，填在题中的横线上，并解答．
已知双曲线C的对称中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点P(2，-

2

)在C上，且．
（1）求C的标准方程；
（2）已知C的右焦点为F，直线PF与C交于另一点Q，不与直线PF重合且过F的动直线l与C交于M，N两点，直线PM和QN交于点A，证明：A在定直线上．
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．

已知函数f（x）=x+lnx-axe^x，其中a∈R．
（1）当a=0时，试判断函数f（x）的零点个数；
（2）若f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦点到渐近线的距离为2，渐近线的斜率为2．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设过点（0，2）的直线l与曲线C交于M，N两点，问在y轴上是否存在定点P，使得

PM

•

PN

为常数？若存在，求出点P的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．

已知双曲线E：x²-y²=1，双曲线C与E共渐近线且经过点(-

5

，1)．
（Ⅰ）求双曲线C的标准方程．
（Ⅱ）如图所示，点P是曲线C上任意一动点（第一象限），直线PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，直线AB交曲线E于点Q（第一象限），过点Q作曲线E的切线交PB于点K，交y轴于点J，求S_△KOA+S_△BQJ的最小值．

已知函数f（x）=|

a-xex

x

|-alnx.
（1）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
（2）若f（x）＞a＞0，证明a＜e

1

e

-1．

已知a∈R，函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

（a-1）x²-ax-3，g（x）=x-2lnx.
（1）当a=1时，求函数y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）若函数f（x）的减区间是（-1，4），求a的值；
（3）若函数y=g（x）-a在[1，3]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

化简：

C

0 n

3n-1+

C

1 n

3n-2+

C

2 n

3n-3+⋯⋯+

C

n-2 n

31+

C

n-1 n

30+

C

n n

3-1=__________．（结果用n表示）

（2x²-x+1）¹⁰的展开式中x³项的系数为 __________．