在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在线段BD上，且BE=

1

2

BD，动点F在线段B₁C上（含端点），则下列说法正确的有（　　）

已知：若点（x₀，y₀）是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上一点，则双曲线在点（x₀，y₀）处的切线方程为

x0x

a2

-

y0y

b2

=1．如图，过点C(m,1)(-

3

＜m＜

3

)分别作双曲线

x2

3

-y2=1两支的切线，切点分别为P，Q，连结P，Q两点，并过线段PQ的中点F分别再作双曲线两支的切线，切点分别为D，E，记△DCF与△ECF的面积分别为S₁，S₂．
（1）求直线PQ的方程（含m）；
（2）证明直线DE过点C，并比较S₁与S₂的大小．

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F（2，0），左、右顶点分别为A₁，A₂，且D为C上不与A₁，A₂重合的一点，直线DA₁、DA₂的斜率之积为3．
（1）求双曲线C的方程；
（2）平面一点T（m,n）（m＜1）且T不在C上，过T的两条直线分别交C的右支于A，B两点和P，Q两点，若A，B，Q，P四点在同一圆上，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a,b＞0)的离心率为

2

，直线l₁：y=2x+4

3

与双曲线C仅有一个公共点．
（1）求双曲线C的方程
（2）设双曲线C的左顶点为A，直线l₂平行于l₁，且交双曲线C于M，N两点，求证：△AMN的垂心在双曲线C上．

已知椭圆C：

x2

4

+

y2

b2

=1(0＜b＜2)，设过点A（1，0）的直线l交椭圆C于M，N两点，交直线x=4于点P，点E为直线x=1上不同于点A的任意一点．
（1）若|AM|≥1，求b的取值范围；
（2）若b=1，记直线EM，EN，EP的斜率分别为k₁，k₂，k₃，问是否存在k₁，k₂，k₃的某种排列k_i1，k_i2，k_i3（其中{i₁，i₂，i₃}={1，2，3}，使得k_i1，k_i2，k_i3成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由．

已知函数f（x）=ax²-xlnx.
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设直线l为曲线y=f（x）的切线，当a≥

e

2

时，记直线l的斜率的最小值为g（a），求g（a）的最小值；
（Ⅲ）当a＞0时，设M={y|y=f′(x)，x∈(

1

2a

，

3

4a

)}，N={y|y=f′(x)，x∈(

1

4a

，

1

2a

)}，求证：M⫋N．

已知函数f(x)=

lnx

x

+

1

x

+x图象上三个不同的点M（m,f（m）），N（n,f（n）），P（1，f（1））．
（1）求函数f（x）在点P处的切线方程；
（2）记（1）中的切线为l,若MN∥l,证明：2＜

1

m

+

1

n

＜e．

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

3

，直线l：y=x-1与双曲线C交于A，B两点，点D（x₀，y₀）在双曲线C上．
（1）求线段AB中点的坐标；
（2）若a=1，过点D作斜率为

2x0

y0

的直线l′与直线l₁：

2

x-y=0交于点P，与直线l₂：

2

x+y=0交于点Q，若点R（m,n）满足|RO|=|RP|=|RQ|，求m²+2

x

2 0

-2n²-

y

2 0

的值．

已知函数f（x）=x²-ax+1，g（x）=lnx+a（a∈R）．
（1）若a=1，f（x）＞g（x）在区间（0，t）上恒成立，求实数t的取值范围；
（2）若函数f（x）和g（x）有公切线，求实数a的取值范围．

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=

2 5

5

x与椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)交于P，Q两点（P在x轴上方），且PQ=

6

5

a，设点P在x轴上的射影为点N，△PQN的面积为

2 5

5

，抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点与椭圆C的焦点重合，斜率为k的直线l过抛物线E的焦点与椭圆C交于A，B两点，与抛物线E交于C，D两点．
（1）求椭圆C及抛物线E的标准方程；
（2）是否存在常数λ，使

5

|AB|

+

λ

|CD|

为常数？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．