2023年3月华中师大一附中举行了普通高中体育与健康学业水平合格性考试．考试分为体能测试和技能测试，其中技能测试要求每个学生在篮球运球上篮、羽毛球对拉高远球和游泳3个项目中任意选择一个参加．某男生为了在此次体育学业考试中取得优秀成绩，决定每天训练一个技能项目．第一天在3个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意选一项训练．
（1）若该男生进行了3天的训练，求第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率；
（2）设该男生在考前最后6天训练中选择“羽毛球对拉高远球”的天数为X，求X的分布列及数学期望．

红旗中学某班级元旦节举行娱乐小游戏．游戏规则：将班级同学分为若干游戏小组，每一游戏小组都由3人组成，规定一局游戏，“每个人按编排好的顺序各掷一枚质量均匀的骰子一次，若骰子向上的面是1或6时，则得10（i-3）分（i为3人的顺序编号，i=1，2，3，若得分为负值时即为扣分），否则，得10i分，各人掷骰子的结果相互独立”．记游戏小组A一局游戏所得分数之和为X．
（1）求X的分布列和数学期望；
（2）若游戏小组A进行两局游戏，各局相互独立，求至少一局得分X＞0的概率．

据统计，某校高三打印室1-4月份购买的打印纸的箱数如表：

月份代号t	1	2	3	4
打印纸的数量y（箱）	60	65	70	85

（1）求相关系数r,并从r的角度分析能否用线性回归模型拟合y与t的关系（若|r|≥0.75，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）；
（2）建立y关于t的回归方程，并用其预测5月份该校高三打印室需购买的打印纸约为多少箱．
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（x_i，y_i）（i=1，2，3，⋯，n），其回归直线

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

的斜率和截距的最小二乘估计分别为

̂

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

=

n i=1 xiyi-n x y

n i=1 xi2-n x 2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．
相关系数r=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2 n i=1 (yi- y )2

，参考数据：

70

≈8.37

甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试．每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀．两位同学的测试成绩如表：

次数 同学	第一次	第二次	第三次	第四次	第五次	第六次	第七次
甲	80	78	82	86	95	93	—
乙	76	81	80	85	89	96	94

（1）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率；
（2）从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求X的分布列及数学期望E（X）；
（3）从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设Y表示这3次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学期望E（Y）与（2）中E（X）的大小．（结论不要求证明）

某市举行全国两会知识竞赛，从参与者中随机抽取400名幸运者，对他们的成绩进行分析，把他们的得分分成以下7组：[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，统计得到各组的频数之比为1：6：8：10：9：4：2．
（1）试用组中值估计这400名幸运者成绩的平均值μ；
（2）若此次知识竞赛得分X～N（μ，15²），对参与者制定如下奖励方案：得分不超过80分的可获话费10元，得分超过80分不超过95分的可获话费20元，超过95分可获话费100元，试估计任意一名参与者获得话费的数学期望．
参考数据：P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ≤x≤μ+3σ）≈0.9973．

某中学在高一学生选科时，要求每位学生先从物理和和历史这两个科目中选定一个科目，再从思想政治、地理、化学、生物这四个科目中任选两个科目．选科工作完成后，为了解该校高一学生的选科情况，随机抽取了部分学生作为样本，对他们的选科情况统计后得到下表：

	思想政治	地理	化学	生物
物理类	100	120	200	180
历史类	120	140	60	80

（1）利用上述样本数据填写以下2×2列联表，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析以上两类学生对生物学科的选法是否存在差异．

科类	生物学科选法
	选	不选	合计
物理类
历史类
合计

（2）假设该校高一所有学生中有

3

5

的学生选择了物理类，其余的学生都选择了历史类，且在物理类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为

1

5

，而在历史类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为

1

10

．若从该校高一所有学生中随机抽取100名学生，用X表示这100名学生中同时选择了地理和化学的人数，求随机变量X的均值E（X）．
附：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

α	0.1	0.05	0.001	0.005	0.001
xα	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=1，PA=AD=CD=2．E为棱PC上一点，平面ABE与棱PD交于点F．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成下列两个问题：
（Ⅰ）求证：F为PD的中点；
（Ⅱ）求二面角B-FC-P的余弦值．
条件①：BE∥AF；
条件②：BE⊥PC．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

现有编号为2至5号的黑色、红色卡片各一张．从这8张卡片中随机抽取三张，若抽取的三张卡片的编号和等于10且颜色均相同，得2分；若抽取的三张卡片的编号和等于10但颜色不全相同，得1分；若抽取的三张卡片的编号和不等于10，得0分．
（1）求随机抽取三张卡片得0分的概率；
（2）现有甲、乙两人从中各抽取三张卡片，且甲抽到了红色3号卡片和红色5号卡片，乙抽到了黑色2号卡片，求两人的得分和X的分布列和数学期望．

某小区有居民2000人，想通过验血的方法筛查出乙肝病毒携带者，为此需对小区全体居民进行血液化验，假设携带病毒的居民占a%，若逐个化验需化验2000次．为减轻化验工作量，随机按n人一组进行分组，将各组n个人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这n个人的血样全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对每个人再分别单独化验一次．假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立．
（1）若a=0.2，n=20，试估算该小区化验的总次数；
（2）若a=0.9，每人单独化验一次花费10元，n个人混合化验一次花费n+9元．求n为何值时，每位居民化验费用的数学期望最小．
（注：当p＜0.01时，（1-p）ⁿ≈1-np）

如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，AB⊥BC，平面ABC⊥平面ABB'A'，AB=BC=BB'=2，

BB′

在

BA

上的投影为1．
（1）证明：BC⊥CC′．
（2）求二面角B′-AC-B的余弦值．