已知动点P到直线y=-8的距离比到点（0，1）的距离大7．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）记动点P的轨迹为曲线C，点M在直线l₁：y=-1上运动，过点M作曲线C的两条切线，切点分别为A，B，点N是平面内一定点，线段MA，NA，NB，MB的中点依次为E，F，G，H，若当M点运动时，四边形EFGH总为矩形，求定点N的坐标．

法国数学家加斯帕尔•蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则称圆心在原点O，半径是

a2+b2

的圆为“椭圆C的伴随圆”，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个焦点为F(

2

，0)，其短轴的一个端点到焦点F的距离为

3

．
（1）若点A为椭圆C的“伴随圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C的两相异点，且BD⊥x轴，求

AB

•

AD

的取值范围．
（2）在椭圆C的“伴随圆”上任取一点P，过点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点，试判断l₁，l₂是否垂直？并说明理由．

如图，过抛物线E：x²=2py（p＞0）的焦点F作直线l交E于A，B两点，点A，B在x轴上的射影分别为D，C．当AB平行于x轴时，四边形ABCD的面积为4．

（1）求p的值；
（2）过抛物线上两点的弦和抛物线弧围成一个抛物线弓形，古希腊著名数学家阿基米德建立了这样的理论：以抛物线弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点为顶点作抛物线弓形的内接三角形，则抛物线弓形的面积等于该内接三角形面积的

4

3

倍．已知点P在抛物线E上，且E在点P处的切线平行于AB，根据上述理论，从四边形ABCD中任取一点，求该点位于图中阴影部分的概率为

1

2

时直线l的斜率．

已知函数f（x）=lnx+a,设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），且x₁≠x₂．
（1）若a=-1，求函数y=f（x）在P（1，f（1））处的切线方程；
（2）证明：

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞f′(

x1+x2

2

)．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，若C过点A（1，

3

2

），且|AF₁|+AF₂|=4．
（1）求C的方程；
（2）过点F₂且斜率为l的直线与C交于点M、N，求△OMN的面积．

已知函数f（x）=mx-sinx,g（x）=axcosx-2sinx（a＞0）．
（1）若函数y=f（x）是（-∞，+∞）上的单调递增函数，求实数m的最小值；
（2）若m=1，且对任意x∈[0，

π

2

]，都有不等式f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．

在圆O：x²+y²=1上任取一点P，过点P作y轴的垂线，垂足为D，点Q满足

DQ

=2

PQ

．当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设曲线C与y轴正半轴交点为A，不过点A的直线l与曲线C交于M，N两点，若

AM

•

AN

=0，试探究直线l是否过定点．若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

1

2

，短轴长为2

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知经过定点P（1，1）的直线l与椭圆相交于A，B两点，且与直线y=-

3

4

x相交于点Q，如果

AQ

=λ

AP

，

QB

=μ

PB

，那么λ+μ是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．

已知函数f(x)=lnx-

x-a

(a∈R)．若函数f（x）恰有两个不同的极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）．
（1）求a的取值范围；
（2）是否存在实数a,使得[f(x1)-f(a)]2=[f(x2)]2成立？请说明理由．

已知函数f(x)=

x-1

ex

-cosx(x∈[-π，

π

2

])．
（Ⅰ）求证：函数f（x）在[-π，

π

2

]上单调递增；
（Ⅱ）当x∈[-π，0]时，ksinx≥[f（x）+cosx]e^x-cosx恒成立，求实数k的取值范围．