已知双曲线C：

x2

m

-

y2

n

=1的右焦点F（5，0）到其中一条渐近线的距离为3，则m=__________．

法国数学家加斯帕・蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：

x2

8

+

y2

4

=1，则C的蒙日圆O的方程为 __________；若过圆O上的动点M作C的两条切线，分别与圆O交于P，Q两点，则△MPQ面积的最大值为 __________．

用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f'（x）是f（x）的导函数，f''（x）是f'（x）的导函数，则曲线y=f（x）在点（x,f（x））处的曲率K=

|f″(x)|

(1+(f′(x))2) 3 2

．若曲线f（x）=x²+lnx和g(x)=

x

在（1，1）处的曲率分别为K₁，K₂，则

K1

K2

=__________．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为2c,左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横坐标为

1

3

c,若直线l与直线PF的斜率之积等于-

3

16

，则C的离心率为 __________​．

已知直线l与圆O：x²+y²=1相切，且交椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1于A（x₁，y₁），B（x₂）y₂）两点，若y₁y₂=-

6

7

，则|AB|=__________．

已知函数f（x）=x²-4x+（x-2）cosx-sinx在x=a处取得最小值m,则m+a=__________．

已知抛物线C：y²=8x,直线l过抛物线C的焦点F交抛物线于P，Q，且|PQ|=10，M是PQ的中点，则M到y轴的距离为 __________．

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点为F，P为椭圆C上的一点，⊙P与x轴切于F点，与y轴交于A，B两点，若△APB为锐角三角形，则C的离心率范围是 __________．

已知点P为抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点，若点P到y轴和到直线3x-4y+12=0的距离之和的最小值为2，则抛物线C的准线方程为 __________．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，点A、B在椭圆C上，满足

AF2

•

F1F2

=0，

AF1

=λ

F1B

，若椭圆C的离心率e∈[

3

3

，

2

2

]，则实数λ取值范围为 __________．