已知函数f(x)=

ex

xa

，其中x＞0，a＞0．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若方程

f(x)

e

=x-alnx恰有两个不相等的实数根，求a的取值范围．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率与双曲线x²-y²=1的离心率互为倒数，点A（2，2）在椭圆C上，不过点A的直线l与椭圆C交于P，Q两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线AP，AQ的斜率之和为1，试问直线l是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过定点，请说明理由．

已知F₁，F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线

x2

4

-y2=1在第一象限与椭圆C相交于点P，且|PF₂|=1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线y=kx+1与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且

OD

=m

OB

(m＞0)．若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围．

已知函数f（x）=e^x+ax-sinx-1，x∈[0，+∞）．
（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

已知函数f（x）=x²-axlnx+1+a,a∈R，f′（x）为f（x）的导函数．
（1）讨论f′（x）的极值；
（2）若存在t∈[2，e]，使得不等式f（t）＜0成立，求a的取值范围．

过点P（0，1）可以作两条直线与圆E：x²+y²+kx-2k=0相切，切点分别为A、B．
（1）求实数k的取值范围．
（2）当k=-10时，存在直线AB吗？若存在求出直线方程，若不存在说明理由．

设椭圆E的方程为

x2

a2

+y2=1（a＞1），点O为坐标原点，点A，B的坐标分别为（a,0），（0，1），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为

1

4

．
（1）求椭圆的方程；
（2）若动直线l与椭圆E交于P，Q两点，且恒有OP⊥OQ，是否存在一个以原点O为圆心的定圆C，使得动直线l始终与定圆C相切？若存在，求圆C的方程，若不存在，请说明理由．

已知数列{a_n}满足：关于x的一元二次方程（a_n-a_n+1）x²+（a_n+1-a_n-1）x+（a_n-1-a_n）=0（n≥2）有两个相等的实根．
（1）求证：数列{a_n}成等差数列；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，S₅=-10，a₈=8，求S_n的最小值．

已知函数f（x）=e^x-ax+1．
（1）若a=2，求函数f（x）的极值；
（2）若a=1，g（x）=x-2ln

x

2

，且满足f（m）=g（n）（m≥0），求证：n≤2e^m．

已知函数f（x）=e^x-1-msinx（m∈R）．
（Ⅰ）当m=1时．
（ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（ⅱ）求证：∀x∈(0，

π

2

)，f（x）＞0．
（Ⅱ）若f（x）在(0，

π

2

)上恰有一个极值点，求m的取值范围．