在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，AB⊥BC，CD=1，AE=AC=2，F为DE的中点，且点G满足

EB

=4

EG

．
（1）证明：GF∥平面ABC；
（2）当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角A-BE-D的正弦值．

2022年卡塔尔世界杯于北京时间11月20日在卡塔尔正式开赛，该比赛吸引了全世界亿万球迷观看．为了了解喜爱观看世界杯是否与性别有关，某体育台随机抽取200名观众进行统计，得到如下2×2列联表．

	男	女	合计
喜爱看世界杯	60	20	80
不喜爱看世界杯	40	80	120
合计	100	100	200

（1）试根据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为喜爱观看世界杯与性别有关联？
（2）在喜爱观看世界杯的观众中，按性别用分层抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加某电视台的访谈节目，设参加访谈节目的女性观众与男性观众的人数之差为X，求X的分布列．
附：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

α	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
xα	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

某地级市受临近省会城市的影响，近几年高考生人数逐年下降，下面是最近五年该市参加高考人数y与年份代号x之间的关系统计表．

年份代号x	1	2	3	4	5
高考人数y（千人）	35	33	28	29	25

（其中2018年代号为1，2019年代号为2，…2022年代号为5）
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）根据（1）的结果预测该市2023年参加高考的人数；
（3）试分析该市参加高考人数逐年减少的原因．

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，4AA₁=3AB，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是棱B₁C₁，AC，BC的中点．
（1）证明：AD∥平面C₁EF．
（2）求平面ADE与平面C₁EF夹角的余弦值．

世界对中国的印象很多，让很多人印象深刻的肯定包括“吃”，中国有句话叫民以食为天，中国人认为吃对于人来说是一件很重要的事情，不但要能吃，也要会吃．我们四川更是遍地美食，四川人很多也是“好吃嘴”，但是好吃不等于健康，有人对不同类型的某些食品做了一次调查，制作了下表．其中x表示某种食品所含热量的百分比，y表示一些“好吃嘴”以百分制给出的对应的评分．

x	15	20	25	30	35
y	68	78	80	82	92

附：相关系数r可以衡量两个变量x和y之间线性关系的强弱，当r为正时，x和y正相关，当r为负时，x和y负相关，统计学认为如果|r|∈[0.75，1]相关性很强，如果|r|∈[0.30，0.75）相关性一般，如果|r|∈[0.25，0.25]相关性较弱．r=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2 n i=1 (yi- y )2

，

̂

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．
参考数据：

185

≈13.60．
（1）试用r对两个变量x,y的相关性进行分析（r的结果保留两位小数）；
（2）求回归方程．

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=

5

，AB=AA₁=2，M为棱AB的中点，N是A₁C的中点．
（1）证明：MN∥平面BCC₁B₁；
（2）求直线A₁C与平面B₁MN所成角的正弦值．

在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师整理初三年级学生期中考试的数学成绩，并进行统计分析．在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，共6组，得到如图所示的频率分布直方图．记分数不低于90分为优秀．
（1）从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于70分，问这名学生数学成绩为优秀的概率；
（2）在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在[70，100]内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为X，求X的分布列与数学期望．

已知过点（1，e）的椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距为2，其中e为椭圆E的离心率．
（1）求E的标准方程；
（2）设O为坐标原点，直线l与E交于A，C两点，以OA，OC为邻边作平行四边形OABC，且点B恰好在E上，试问：平行四边形OABC的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由．

已知函数f(x)=

a

2

e2x+(a-2)ex-

x2

2

，f'（x）为函数f（x）的导函数．
（1）讨论f'（x）的单调性；
（2）若x₁，x₂（x₁＜x₂）为f（x）的极值点，证明：x2-x1＜ln(3-a)-lna+

2

a

-1．

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)过点A(3，-

2

)，且渐近线方程为x±

3

y=0．
（1）求双曲线C的方程；
（2）如图，过点B（1，0）的直线l交双曲线C于点M、N．直线MA、NA分别交直线x=1于点P、Q，求

|PB|

|BQ|

的值．