如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB是边长为2的等边三角形，底面ABCD为平行四边形，且AD=

2

，PB⊥BC，∠ADC=45°．
（1）证明：点P在平面ABCD的正投影在直线AD上；
（2）求平面PBC与平面PDC夹角的余弦值．

某甜品屋店庆当天为酬谢顾客，当天顾客每消费满一百元获得一次抽奖机会，奖品分别为价值5元，10元，15元的甜品一份，每次抽奖，抽到价值为5元，10元，15元的甜品的概率分别为

1

2

，

1

3

，

1

6

，且每次抽奖的结果相互独立．
（1）若某人当天共获得两次抽奖机会，设这两次抽奖所获甜品价值之和为X元，求X的分布列与期望．
（2）某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系，随机对200名青少年展开了调查，得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”且“有蛀牙”的有30人，“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的有50人．有2×2列联表：

	有蛀牙	无蛀牙	合计
爱吃甜食
不爱吃甜食
合计

完成上面的列联表，根据独立性检验，能否有99.5%的把握认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关？
附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，n=a+b+c+d.

P（K2≥k）	0.05	0.01	0.005
k	3.841	6.635	7.879

如图甲所示，四边形MNPQ为正方形，AP=AQ=PQ，S为AP的中点．将△APQ沿直线PQ翻折使得QS⊥平面APN，如图乙所示．
（1）求证：平面APQ⊥平面MNPQ；
（2）求平面AMN与平面MNPQ所成二面角的正弦值．

2022年国际篮联女篮世界杯在澳大利亚悉尼落下帷幕，中国女篮团结一心、顽强拼搏获得亚军．这届世界杯，中国女篮为国人留下了许多精彩瞬间和美好回忆，尤其是半决赛绝杀东道主澳大利亚堪称经典一幕．为了了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下2×2列联表.2×2

	男	女	合计
喜爱	30		40
不喜爱		40
合计			100

（1）将列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关？
（2）在不喜爱篮球运动的观众中，按性别分别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目，求这2人至少有一位男性的概率．
附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

P（K2≥k0）	0.010	0.005	0.001
k0	6.635	7.879	10.828

设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm,测得的一些数据如下表所示：

第x天	1	4	9	16	25	36	49
高度ycm	0	4	7	9	11	12	13

作出这组数据的散点图发现：y（cm）与x（天）之间近似满足关系式y=b

x

+a,其中a,b均为大于0的常数．
（1）试借助一元线性回归模型y=

̂

b

t+

̂

a

，根据所给数据，用最小二乘法对

̂

a

，

̂

b

作出估计，并求出y关于x的经验回归方程；
（2）在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的2个点，求这2个点中幼苗的高度大于

y

的点的个数恰为1的概率．
附：对于一组数据（v₁，μ₁），（v₂，μ₂），⋯，（v_n，μ_n），其回归直线方程

̂

μ

=α+βv的斜率和截距的最小二乘估计分别为

̂

β

=

n i=1 vi⋅μi-n v ⋅ μ

n i=1 v 2 i -n v 2

，

̂

α

=

μ

-

̂

β

v

．

某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况．其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1，2，3三组．观察一段时间后，分别从1，2，3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如表．

株高增量（单位：厘米）	（4，7]	（7，10]	（10，13]	（13，16]
第1组鸡冠花株数	9	20	9	2
第2组鸡冠花株数	4	16	16	4
第3组鸡冠花株数	13	12	13	2

假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立．
（Ⅰ）从第1组所有鸡冠花中各随机选取1株，估计株高增量为（7，10]厘米的概率；
（Ⅱ）分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有X株的株高增量为（7，10]厘米，求X的分布列和数学期望E（X）；
（Ⅲ）用“ξ_k=1”表示第k组鸡冠花的株高增量为（4，10]，“ξ_k=0”表示第k组鸡冠花的株高增量为（10，16]厘米，k=1，2，3，直接写出方差D（ξ₁），D（ξ₂），D（ξ₃）的大小关系．（结论不要求证明）

新型冠状病毒疫情已经严重影响了我们正常的学习、工作和生活．某市为了遏制病毒的传播，利用各种宣传工具向市民宣传防治病毒传播的科学知识．某校为了解学生对新型冠状病毒的防护认识，对该校学生开展防疫知识有奖竞赛活动，并从女生和男生中各随机抽取30人，统计答题成绩分别制成如下频数分布表和频率分布直方图．规定：成绩在80分及以上的同学成为“防疫标兵”．
30名女生成绩频数分布表：

成绩	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
频数	10	10	6	4

（1）根据以上数据，完成以下2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“防疫标兵”与性别有关；

	男生	女生	合计
防疫标兵
非防疫标兵
合计

（2）设男生和女生样本平均数分别为

x

和

y

，样本的中位数分别为x₀和y₀，求

x

，

y

，x0，y0（精确到0.01）．
附：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，n=a+b+c+d

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

如图（1），在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=2AB=2BC，E为AD中点，现沿BE将△ABE折起，如图（2），其中F，G分别是BE，AC的中点．
（1）求证：FG⊥平面ACD；
（2）若AB=AC=

2

，求二面角B-AC-D的余弦值．

有研究显示，人体内某部位的直径约10mm的结节约有0.2%的可能性会在1年内发展为恶性肿瘤．某医院引进一台检测设备，可以通过无创的血液检测，估计患者体内直径约10mm的结节是否会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阳性，则提示该结节会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阴性，则提示该结节不会在1年内发展为恶性肿瘤．这种检测的准确率为85%，即一个会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阳性，一个不会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阴性．患者甲被检查出体内长了一个直径约10mm的结节，他做了该项无创血液检测．
（1）求患者甲检查结果为阴性的概率；
（2）若患者甲的检查结果为阴性，求他的这个结节在1年内发展为恶性肿瘤的概率（结果保留5位小数）；
（3）医院为每位参加该项检查的患者缴纳200元保险费，对于检测结果为阴性，但在1年内发展为恶性肿瘤的患者，保险公司赔付该患者20万元，若每年参加该项检查的患者有1000人，请估计保险公司每年在这个项目上的收益．

如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB=2AD=2CD=2，点E是PB的中点．
（1）证明：平面EAC⊥平面PBC；
（2）若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为

3

3

，求二面角P-AC-E的余弦值．