三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题．古希腊数学家Pappus（约300～350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A，B两点；取线段AB的三等分点O，D；以B为焦点，A，D为顶点作双曲线H．双曲线H与弧AB的交点记为E，连接CE，则∠BCE=

1

3

∠ACB．
①双曲线H的离心率为 __________；
②若∠ACB=

π

2

，|AC|=3

2

，CE交AB于点P，则|OP|=__________．

椭圆C：

x2

a2

+

y2

a2-1

=1的左右焦点分别为F₁，F₂，直线y=kx（k＞0）与C相交于M，N两点，若M，F₁，N，F₂四点共圆（其中M在第一象限），且直线NF₂倾斜角不小于

π

6

，则椭圆C的实轴长的取值范围是 __________．

若函数f(x)=xlnx-

1

2

ax2存在极大值点x₀，且2f(x0)＞e2，则实数a的取值范围为 __________．

设F₁，F₂为椭圆C：

x2

4

+y²=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且∠F₁PF₂=90°，则四边形PF₁QF₂的面积为 __________​．

椭圆是特别重要的一类圆锥曲线，是平面解析几何的核心，它集中地体现了解析几何的基本思想．而黄金椭圆是一条优美曲线，生活中许多椭圆形的物品，都是黄金椭圆，它完美绝伦，深受人们的喜爱．黄金椭圆具有以下性质：①以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，②长轴长，短轴长，焦距依次组成等比数列．根据以上信息，黄金椭圆的离心率为 __________．

若直线l₁：x+my-2=0与l₂：mx-y+2=0（m∈R）相交于点P，过点P作圆C：（x+2）²+（y+2）²=1的切线，切点为M，则|PM|的最大值为 __________．

已知函数f（x）=ax³+3x²-4，若f（x）存在唯一的零点x₀，且x₀＜0，则a的取值范围是 __________．

圆O₁：x²+y²-13=0与圆O₂：x²+y²-6x+5=0的公共弦所在直线方程为 __________．

已知圆（x-2）²+y²=b²与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的渐近线相切，且圆心到双曲线左顶点的距离为

3

b，则该双曲线的离心率是 __________．

已知A，B分别为双曲线

x2

t

-

y2

3

=1的左、右顶点，P，Q是双曲线上关于x轴对称的不同两点，设直线AP，BQ的斜率分别为m,n,若点A到直线y=2mnx的距离为

3

，则该双曲线的离心率为 __________．