2022年10月1日，女篮世界杯落幕，时隔28年，中国队再次获得亚军，追平历史最佳成绩统计数据显示，中国队主力队员A能够胜任小前锋（SF）大前锋（PF）和得分后卫（SG）三个位置，且出任三个位置的概率分别为

1

4

，

1

4

，

1

2

，同时，当队员A出任这三个位置时，球队赢球的概率分别为

4

9

，

8

9

，

2

3

，（队员A参加所有比赛均分出胜负）．
（1）当队员A参加比赛时，求该球队某场比赛获胜的概率；
（2）在赛前的友谊赛中，第一轮积分规则为：胜一场积3分，负一场积-1分．本轮比赛球队一共进行5场比赛，且至少获胜3场才可晋级第二轮，已知队员A每场比赛均上场且球队顺利晋级第二轮，记球队第一轮比赛最终积分为X，求X的数学期望．

2023年的春节联欢晚会以“欣欣向荣的新时代中国，日新月异的更美好生活”为主题，通过各种艺术形式，充分展现开心信心、顽强奋进的主旋律．调查表明，观众对春晚的满意度与节目内容、灯光舞美、明星阵容有极强的相关性．现将这三项的满意度指标分别记为a,b,c,并对它们进行量化；0表示不满意，1表示基本满意，2表示非常满意．再用综合指标y=a+b+c的值评定观众对春晚的满意程度：若y≥4，则表示非常满意；2≤y≤3表示基本满意；0≤y≤1表示不太满意．为了了解某地区观众对今年春晚的满意度，现从此地观众中随机电话连线10人进行调查，结果如下：

人员编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
满意度指标	（1，1，2）	（2，1，1）	（2，2，2）	（1，0，1）	（1，2，1）	（2，2，1）	（1，1，1）	（2，1，2）	（0，1，0）	（1，0，2）

（1）在这10名被电话调查的人中任选2人，求这2人对灯光舞美的满意度指标不同的概率；
（2）从满意程度为“非常满意”的被调查者中任选一人，其综合指标为m,从满意程度不是“非常满意”的被调查者中任选一人，其综合指标为n,记随机变量X=m-n,求X的分布列及数学期望．

从《唐宫夜宴》火爆破圈开始，某电视台推出的“中国节日”系列节目引发广泛关注．某统计平台为调查市民对“中国节日”系列节目的态度，在全市市民中随机抽取了100人，他们年龄的频数分布及对“中国节日”系列节目喜欢的人数如下表．（注：年龄单位为岁，年龄都在[15，75）内）

年龄	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75）
频数	10	20	30	20	10	10
喜欢人数	6	16	26	12	6	4

（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为对“中国节日”系列节目的态度与人的年龄有关；

	年龄不低于45岁的人数	年龄低于45岁的人数	合计
喜欢
不喜欢
合计

（2）若按年龄段用分层随机抽样的方法从样本中年龄在[45，75）被调查的人中选取8人，现从选中的这8人中随机选取3人，求这3人中年龄在[55，65）的人数X的分布列和数学期望．
参考公式及数据χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

P（X2≥k0）	0.05	0.01	0.005	0.001
k0	3.841	6.635	7.879	10.828

如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，

BC∥AD，CD⊥AD，AD=2CD=2BC=4，PB=2 3

．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）求平面PAB与平面ABCD夹角的正弦值．

如图，C在以AB为直径的圆O上，SO垂直圆O所在的平面，BS=AB=2，CA=CB，E为AS的中点，D是SC上一点，且平面BDE⊥平面SAB．
（1）求证：SA⊥BD；
（2）求平面BDE与平面SBC夹角的余弦值．

如图，四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=AE=2DE=2，∠AED=

π

3

．二面角E-AD-C的大小是60°，平面EAB与平面ECD的交线l上存在一点F满足二面角F-BC-D大小也是60°．
（1）求四面体FBCD的体积；
（2）若M为直线AB上的动点，求直线MF与平面EBC所成角的正弦值的最大值．

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，O为AB中点，A₁O⊥底面ABC，A₁O=4，AC=BC，AB=2OC=6，G，E分别在线段AC，BC₁上，且

AG

GC

=

BE

C1E

=

1

2

．
（1）求证：GE∥面AA₁B₁B；
（2）记面B₁GE∩面ABC=l,求二面角B₁-l-B的余弦值．

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁B₁BA和侧面A₁ACC₁均为正方形，D为棱BC的中点．
（1）证明：平面ADC₁⊥平面B₁BCC₁；
（2）若直线AC₁与平面B₁BCC₁所成角为30°，求平面A₁B₁BA与平面ADC₁夹角的余弦值．

甲、乙两所学校进行同一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下2×2列联表：
班级与成绩列联表

	优秀	不优秀	总计
甲队	80	40	120
乙队	240	200	240
合计	320	240	560

附

P（K2＞k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，n=a+b+c+d）
（1）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩与学校有关系；
（2）采用分层抽样的方法在两所学校成绩优秀的320名学生中抽取16名同学．现从这16名同学中随机抽取3名运同学作为成绩优秀学生代表介绍学习经验，记这3名同学来自甲学校的人数为X，求X的分布列与数学期望．

已知(x2+

a

x

)n的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为0，则（　　）