社会实践是大学生课外教育的一个重要方面，在校大学生利用要期参加社会实践活动，是认识社会、了解社会、提高自我能力的重要机会．某省统计了该省其中的4所大学2023年毕业生的人数及参加过暑期社会实践活动的人数（单位：千人），得到如下表格：

大学	A大学	B大学	C大学	D大学
2023年毕业生人数x（千人）	7	6	5	4
2023年毕业生中参加过 社会实践人数y千人）	0.5	0.4	0.3	0.2

（1）已知y与x具有较强的线性相关性，求y关于x的线性回归方程y=

̂

a

x+

̂

b

；
（2）假设该省对参加过暑期社会实践活动的大学生每人发放0.5万元的补贴．
（i）若该省大学2023年毕业生人数为12万人，估计该省要发放补贴的总金额；
（ii）若2023年毕业生中的小李、小王参加过暑期社会实践活动的概率分别为p,3p-1，该省对小李、小王两人补贴总金额的期望不超过0.75万元，求p的取值范围．
参考公式：

̂

a

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

=

n i=1 (xiyi-n x • y )

n i=1 xi2-n x 2

，

̂

b

=

̂

y

-

̂

a

x

．

据第19届亚运会组委会消息，杭州亚运会将于2023年9月23日至10月8日举行，为此，某校开展了青少年亚运会知识问答竞赛，有400名学生参赛，竞赛成绩所得分数的分组区间为[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，由此得到如下的频数统计表：

分数区间 性别	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
男生/名	10	70	75	45
女生/名	10	90	45	55

（1）若某学生得分不低于80分则认为他亚运会知识掌握良好，若某学生得分低于80分则认为他亚运会知识掌握一般，那么是否有95%的把握认为该校学生对亚运会知识的掌握情况与性别有关？
（2）利用对不同分数段进行分层抽样的方式从参赛学生中随机抽取20名学生作进一步调研．
（i）从这20名学生中依次再抽取3名进行调查分析，求在第一次抽出的1名学生分数在区间[80，90）内的条件下，后两次抽出的2名学生分数都在[90，100]内的概率；
（ii）从这20名学生中再任取3名进行调查分析，记取出的3人中分数在[90，100]内的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
附：

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010
k0	2.706	3.841	6.635

K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥底面ABCD，PD=DA，M为AD的中点，且平面PBM⊥平面PDA．
（1）证明：BM⊥AD；
（2）求二面角M-PB-C的正弦值．

3月14日为国际数学日，也称为π节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格．高三（7）班派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲、乙两组通过第一轮比赛的概率分别是

3

4

，

3

5

，通过第二轮比赛的概率分别是

4

5

，

2

3

，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响
（1）若三（7）获得决赛资格的小组个数为X，求X的数学期望；
（2）已知甲、乙两个小组在决赛中相遇．决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得10分，答错一题扣10分，得分高的获胜：假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是

1

3

，

2

3

，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得10分的情况下甲获胜的概率．

为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起体育运动和文化项目比赛，经过角逐．甲、乙两人进入最后的决赛．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的人获得该天胜利，此时该天比赛结束．若甲、乙两人中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天甲、乙两人各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的取胜方为最终冠军．设每局此赛甲获胜的概率为

1

3

，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．
（1）记第一天需要进行的比赛局数为X，求X的分布列及E（X）；
（2）记一共进行的比赛局数为Y，求P（Y≤5）．

如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=1，BC=CD=

2

2

，且BC⊥CD，以BD为折痕把△ABD和△CBD向上折起，使点A到达点E的位置，点C到达点F的位置，且平面FBD和平面EBD不重合．
（1）求证：EF⊥BD；
（2）若点G为△ABD的重心（三条中线的交点），EG⊥平面ABD，求直线BD与平面ABE所成角的余弦值．

黄河鲤是我国华北地区的主要淡水养殖品种之一，其鳞片金黄、体形形长，尤以色泽鲜丽、肉质细嫩、气味清香而著称．为研究黄河鲤早期生长发育的规律，丰富黄河鲤早期养殖经验，某院校研究小组以当地某水产养殖基地的黄河鲤仔鱼为研究对象，从出卵开始持续观察20天，试验期间，每天固定时段从试验水体中随机取出同批次9尾黄河鲤仔鱼测量体长，取其均值作为第t_i天的观测值y_i（单位：mm），其中t_i=i,i=1，2，3，…，20．根据以往的统计资料，该组数据（t_i，y_i）可以用Logistic曲线拟合模型y=

1

1 u +abt

或Logistic非线性回归模型y=

u

1+ea-bt

进行统计分析，其中a,b,u为参数．基于这两个模型，绘制得到如下的散点图和残差图：

（1）你认为哪个模型的拟合效果更好？分别结合散点图和残差图进行说明；
（2）假定u=12.5，且黄河鲤仔鱼的体长y与天数t具有很强的相关关系．现对数据进行初步处理，得到如下统计量的值：

t

=

1

20

20

i=1

ti=10.5，

z

=

1

20

20

i=1

zi=-3.83，

w

=

1

20

20

i=1

wi=-1.608，

20

i=1

(ti-

t

)2=665，

20

i=1

(zi-

z

)(ti-

t

)=-109.06

20

i=1

(wi-

w

)(ti-

t

)=-138.32，其中zi=ln(

1

yi

-

1

u

)，wi=ln(

u

yi

-1)，根据（1）的判断结果及给定数据，求y关于t的经验回归方程，并预测第22天时仔鱼的体长（结果精确到小数点后2位）．
附：对于一组数据（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），其回归直线

̂

y

=a+bx的斜率和截距的最小二乘估计分别为

̂

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

；参考数据：e^-4≈0.0183．

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，四边形CDEF为平行四边形，平面CDEF⊥平面ABCD，BC=2AD，∠FCD=

π

3

．
（1）证明：DF∥平面ABE；
（2）若AD=1，CD=DE=2，求二面角E-BD-F的正弦值．

如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为平行四边形，平面AB₁C⊥平面ABCD，DD1=DA=A1B1=

1

2

AB=2，∠BAD=

π

3

．
（1）证明：DD₁∥平面AB₁C；
（2）若B₁A=B₁C，求直线BC₁与平面AB₁C所成角的正弦值．

一所中学组织学生对某线下某实体店2022年部分月份的月利润情况进行调查统计，得到的数据如下：

月份x	2	4	6	8	10	12
净利润y（万元）	0.9	2.0	4.2	3.9	5.2	5.1
λ=lnx	0.7	1.4	1.8	2.1	2.3	2.5
μ= x	1.4	2.0	2.4	2.8	3.2	3.5

根据散点图，准备用①y=alnx+b或②y=c

x

+d建立y关于x的回归方程．
（1）用线性相关系数说明上面的两种模型哪种适宜作为y关于x的回归方程？
（2）由参考数据，根据（1）的判断结果，求y关于x的回归方程（精确到0.1）．
附：对于一组数据（u_i，v_i）（i=1，2，3，⋯，n），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为

̂

β

=

n i=1 (ui- u )(vi- v )

n i=1 (ui- u )2

，

̂

α

=

̂

v

-

̂

β

u

．相关系数r=

n i=1 (ui- u )(vi- v )

n i=1 (ui- u )2 n i=1 (vi- v )2

．
参考数据：

x

=7，

y

=3.55，

λ

=1.80，

μ

=2.55，

6

i=1

(λi-

λ

)2=2.20，

6

i=1

(μi-

μ

)2=2.89，

6

i=1

(yi-

y

)(λi-

λ

)=5.55，

6

i=1

(yi-

y

)(μi-

μ

)=6.32，

6 i=1 (yi- y )2 6 i=1 (λi- λ )2

=5.76，

6 i=1 (yi- y )2 6 i=1 (μi- μ )2

=6.61．