已知平面内动点M到定点F（0，1）的距离和到定直线y=4的距离的比为定值

1

2

．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）设动点M的轨迹为曲线C，过点（1，0）的直线交曲线C于不同的两点A、B，过点A、B分别作直线x=t的垂线，垂足分别为A₁、B₁，判断是否存在常数t,使得四边形AA₁B₁B的对角线交于一定点？若存在，求出常数t的值和该定点坐标；若不存在，说明理由．

已知△ABC中，点A（-1，5），AC边上中线所在直线l₁的方程为8x+y-12=0，AB边上的高线所在直线l₂的方程为x-3y+6=0．
（1）求点B和点C的坐标；
（2）以M（1，0）为圆心作一个圆，使得A、B、C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的短轴顶点为A（0，b），B（0，-b），短轴长是4，离心率是

2

2

，直线l：y=kx-6与椭圆C交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）两点，其中y₁＜y₂．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若BP∥OQ（其中O为坐标原点），求k；
（3）证明：

kAQ

kBP

是定值．

已知函数f(x)=x-

1

x

-alnx(a＞0)，g（x）=x²-1-xlnx.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）有三个零点x₁，x₂，x₃，求证：g（x₁）+g（x₂）+g（x₃）＞0．

设向量

m

=(alnx,

1

2

)，

n

=(1，x2)，f(x)=

m

•

n

-(a+1)x，（a∈R）．
（1）当a=-3时，求f（x）的极值；
（2）当a＞0时，求函数f（x）零点的个数．

已知函数f(x)=alnx+

x

a

-ex．
（1）若a=1，证明：f（x）存在唯一极值点．
（2）若a＞

1

e

，证明：∀x∈（0，1），f（x）＜0．

已知函数f(x)=

ln(x+1)

ex

．
（1）证明：f（x）≤x；
（2）判断方程f（x）=sinx在区间[0，π]上解的个数．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的离心率为

3

2

，上顶点为M，下顶点为N，|MN|=2，设点T（t,2）（t≠0）在直线y=2上，过点T的直线TM，TN分别交椭圆C于点E和点F．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求证：直线EF恒过定点，并求出该定点；
（3）若△TMN的面积为△TEF的面积的k倍，则当t为何值时，k取得最大值？

在一个面积为4的直角三角形ABC的内部作一个正方形，其中正方形的两个顶点落在斜边AB上，另外两个顶点分别落在AC，BC上，则（　　）

重庆的解放碑是重庆的地标性建筑，吸引众多游客来此打卡拍照．如图所示，现某中学数学兴趣小组对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为解放碑的最顶端，B为基座（即B在A的正下方），在步行街上（与B在同一水平面内）选取C，D两点，测得CD的长为100m.小组成员利用测角仪已测得∠ACB=

π

6

，则根据下列各组中的测量数据，能确定计算出解放碑高度AB的是（　　）