设直线l1：y=

3

x,l2：y=-

3

x，点A和点B分别在直线l₁和l₂上运动，且

OA

•

OB

=-2（其中O为坐标原点）．
（1）求AB的中点T的轨迹方程C；
（2）是否存在直线l：y=kx+1满足直线l与（1）中的曲线C交于M，N两点，且以MN为直径的圆经过曲线C的右焦点？若存在，求出k,若不存在，说明理由．

设P为圆E：x²+y²+2x-15=0上的动点，点F（1，0），且线段PF的垂直平分线交PE于点Q，设点Q的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知A(1，

3

2

)，M，N是曲线C上异于A的不同两点，是否存在以D(2，

3

2

)为圆心的圆，使直线AM，AN都与圆D相切，且△AMN三边所在直线的斜率成等差数列？若存在，请求出圆D的方程；若不存在，请说明理由．

若函数f（x），g（x）的图象与直线x=m分别交于A，B两点，与直线x=n分别交于C，D两点（m＜n），且直线AC，BD的斜率互为相反数，则称f（x），g（x）为“（m,n）相关函数”．
（1）f（x），g（x）均为定义域上的单调递增函数，证明：不存在实数m,n,使得f（x），g（x）为“（m,n）相关函数”；
（2）f（x）=e^ax，g（x）=ax²，若存在实数mn＞0，使得f（x），g（x）为“（m,n）相关函数”，且|AB|=|CD|，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=alnx+

1

x

．
（1）若f（x）在（1，f（1））处的切线与直线3x-y+1=0平行，求a；
（2）当a=1时，求函数f（x）的极值．

已知圆C经过A（-3，10），B（-5，8）两点，且圆心C在直线2x+y=0上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若P是直线x-2y+1=0上的动点，Q是圆C上的动点，定点M（-8，-6），求|PQ|-|PM|的最大值．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，C上的点到其焦点的最大距离为

2

+2．
（1）求C的方程；
（2）若圆x²+y²=

4

3

的切线l与C交于点A，B，求|AB|的最大值．

已知直线l₁：3x-4y+6=0和圆C：x²+y²-4x-4y+7=0．
（1）求直线l₁截圆C所得弦AB的长；
（2）若直线l₂垂直于直线l₁，且和圆C相切于点P，求点P的坐标．

已知圆C的圆心在直线2x+y-4=0上，且与y轴相切于点O（0，0）．
（1）求圆C的方程；
（2）已知过点P（1，3）的直线l被圆C截得的弦长为2

3

，求直线l的方程．

已知函数f（x）=x³+klnx（k∈R），f′（x）为f（x）的导函数．
（Ⅰ）当k=6时，
（i）求曲线y=f（x）在点（l,f（1））处的切线方程；
（ii）求函数g（x）=f（x）-f'（x）+

9

x

的单调区间和极值；
（Ⅱ）当k≥-3时，求证：对任意的x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＞x₂，

f′(x1)+f′(x2)

2

＞

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．

已知函数f（x）=

1

2

x2-alnx（a∈R，a≠0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≥

1

2

成立，求a的取值范围．