已知函数f（x）=

1

2

x2-kx+lnx.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，证明：|f（x₁）-f（x₂）|＜

k2

2

-2．

已知函数f（x）=e^x-mx²（m∈R，x＞0），其中e为自然对数的底数．
（1）当m=0时，设g(x)=

f(x)

x

，求函数g（x）的极值；
（2）若函数h（x）=f'（x）-2nsinx在（0，+∞）有零点，求证：m2+n2＞

e

4

．

已知函数f（x）=ae^x-x-a（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性：
（2）证明：对任意a∈（0，1），存在正数b使得ae^b=a+b.且2lna+b＜0．

已知函数f（x）=x²+axe^x+ae²，e是自然对数的底数，a为实数．
（1）若函数f（x）的图象在x=2处的切线方程过点（3，14），求实数a的值．
（2）若对任意实数x∈R，都有f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

如图，已知A，B分别为椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左，右顶点，P（x₀，y₀）为椭圆M上异于点A，B的动点，若AB=4，且△ABP面积的最大值为2．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）已知直线l与椭圆M相切于点P（x₀，y₀），且l与直线x=a和x=-a分别相交于C，D两点，记四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点N．
问：是否存在两个定点F₁，F₂，使得|NF₁|+|NF₂|为定值？若存在，求F₁，F₂的坐标；若不存在，说明理由．

已知双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为

5

，并且经过点（

2

，2）．
（1）求双曲线E的方程．
（2）若直线l经过点（2，0），与双曲线右支交于P、Q两点（其中P点在第一象限），点Q关于原点的对称点为A，点Q关于y轴的对称点为B，且直线AP与BQ交于点M，直线AB与PQ交于点N，证明：双曲线在点P处的切线平分线段MN．

已知函数f(x)=(x-3)ex-

ea

2

(x2-4x)．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当0＜a＜2时，讨论函数f（x）的零点个数．

已知函数f(x)=mex-

3

2

x2-2x．
（1）当m≥3时，证明：f（x）在区间（-∞，+∞）上单调递增；
（2）若函数g（x）=f（x）-cosx存在两个不同的极值点，求实数m的取值范围．

在平面直角坐标系中，已知点P到点F(

2

，0)的距离与到直线x=2

2

的距离之比为

2

2

．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）过点（0，1）且斜率为k(

1

2

≤k≤2)的直线l与C交于A，B两点，与x轴交于点M，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，求

|AB|

|MN|

的取值范围．

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，且点(-2，

2

)在椭圆C₁上．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）过点Q（0，1）的直线l与椭圆C₁交于D，E两点，已知

DQ

=2

QE

，求直线l的方程；
（3）点P为椭圆C₁上任意一点，过点P作C₁的切线与圆C2：x2+y2=12交于A，B两点，设直线OA，OB的斜率分别为k₁，k₂．证明：k₁•k₂为定值，并求该定值．