87681 难度：3

圆（x-1）²+y²=4被直线mx+ny-2m-n=0截得的最短弦长为 __________．

87682 难度：4

已知函数f（x）=（x-1）e^x-ax-1．
（1）当a=0时，证明函数f（x）只有一个零点；
（2）若存在x∈R，使不等式f（x）＜-e-1成立，求a的取值范围．

87683 难度：4

已知椭圆C：

x2

b2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)与椭圆

x2

8

+

y2

4

=1的离心率相同，P(

2

2

，1)为椭圆C上一点．
（1）求椭圆C的方程．
（2）若过点Q(

1

3

，0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问以AB为直径的圆是否经过定点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由．

87684 难度：3

已知△ABC的边AB，AC所在直线的方程分别为y=-1，2x-y+7=0，点P（1，2）在边BC上．
（1）若△ABC为直角三角形，求边BC所在直线的方程；
（2）若P为BC的中点，求边BC所在直线的方程．

87685 难度：3

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂（|F₁F₂|＜10），上顶点为A，AF₁⊥AF₂，且F₁到直线l：x-

2

y+5=0的距离为

4 3

3

．
（1）求C的方程；
（2）与l平行的一组直线与C相交时，证明：这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上；
（3）P为C上的动点，M，N为l上的动点，且|MN|=2

3

，求△PMN面积的取值范围．

87686 难度：3

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

10

5

，短轴长为2

3

．
（1）求C的方程；
（2）过C的右焦点F的直线l交C于A，B两点，若点M满足

MA

+

MB

=

0

，过点M作AB 的垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记△MFD，△OED（O为坐标原点）的面积分别为S₁、S₂，求

S1

S2

+

S2

S1

的取值范围．

87687 难度：3

设函数f(x)=lnx+2x2-

x

a

-

b

x

，其中a＞0，b∈R．
（1）若a=

1

4

，且f（x）在区间（0，t）单调递减，在区间（t,+∞）单调递增，求t的最小值；
（2）证明：对任意正数a,b,f（x）仅存在唯一零点．

87688 难度：3

已知F是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点，且P(1，

3

2

)在椭圆C上，PF垂直于x轴．
（1）求椭圆C的方程．
（2）过点F的直线l交椭圆C于A，B（异于点P）两点，D为直线l上一点．设直线PA，PD，PB的斜率分别为k₁，k₂，k₃，若k₁+k₃=2k₂，证明：点D的横坐标为定值．

87689 难度：3

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的实轴长为2

2

，右焦点F到双曲线C的渐近线距离为1．
（1）求双曲线C的方程；
（2）点P在第一象限，P，Q在直线y=

1

2

x上，点P，A，B均在双曲线C上，且AQ⊥x轴，M在直线AQ上，P，M，B三点共线．从下面①②中选取一个作为条件，证明另外一个成立：①Q是AM的中点；②直线AB过定点T（0，1）．

87690 难度：3

已知函数f(x)=

sinx

eax

，x∈（0，π）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若1＜a＜1+

2

，设直线l为f（x）在(

π

4

，f(

π

4

))处的切线，且l与y=f（x）的图像在（0，π）内有两个不同公共点，求实数a的取值范围．