已知四面体的棱长为1或2，且该四面体不是正四面体，则这样的不同四面体的个数为 __________．

已知F₁，F₂是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，B₁B₂是椭圆的短轴，菱形F₁B₁F₂B₂的周长为8，面积为2

3

，椭圆E的焦距大于短轴长．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若P是椭圆E内的一点（不在E的轴上），过点P作直线交E于A，B两点，且点P为AB的中点，椭圆E1：

x2

m2

+

y2

n2

=1(m＞n＞0)的离心率为

3

2

，点P也在E₁上，求证：直线AB与E₁相切．

设函数f（x）=x²-2alnx.
（1）当a=1时，求函数f（x）在定义域内的最小值；
（2）若f（x）-2x+1≥-2ax+2a,求实数a的取值范围．

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)与抛物线C₂：y²=4ax的图象在第一象限交于点P．若椭圆的右顶点为B，且|PB|=

6

5

a.
（1）求椭圆C₁的离心率．
（2）若椭圆C₁的焦距长为2，直线l过点B．设l与抛物线C₂相交于不同的两点M、N，且△OMN的面积为24，求线段|MN|的长度．

已知函数f（x）=lnx-a（x-1）．
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点(

3

，

1

2

)，其右焦点为F(

3

，0)．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）椭圆C的右顶点为A，若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为

1

20

，求△APQ面积的最大值．

已知函数f（x）=sin2x+2sin²x.
（1）若f（x）≥2ax在[0，

π

2

]上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：sin(

π

2n+1

)+sin(

2π

2n+1

)+⋯+sin[

(n+1)π

2n+1

]＞

3 2

8

．

已知函数f（x）=

1

2

ax²-（1+2a）x+2（a+1）ln（x+1）+2a.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若a＜e-1，求证：f（x）＜

1

2

ax²+2aln（x+1）-（1+4a）x+2e^x+1．

已知函数f（x）=lnx-ax²-bx.
（1）当a=0时，f（x）有最大值-1，求实数b的值；
（2）当a=-

1

2

时，f（x）存在两个极值点x₁和x₂（x₁＜x₂），且f（x₂）-f（x₁）的取值范围是(2ln2-

15

8

，ln2-

3

4

)，求实数b的取值范围．

已知椭圆

x2

9

+

y2

5

=1的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交椭圆于M，N两点，连接AM，AN分别交直线x=-

9

2

于P，Q两点，过点F且垂直于MN的直线交直线x=-

9

2

于点R．
（1）求证：点R为线段PQ的中点；
（2）记△MPR，△MRN，△NRQ的面积分别为S₁，S₂，S₃，试探究：是否存在实数λ使得λS₂=S₁+S₃？若存在，请求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．