已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(0＜a＜10，b＞0)的右顶点为A，左焦点F（-c,0）到其渐近线bx+ay=0的距离为2，斜率为

1

3

的直线l₁交双曲线C于A，B两点，且|AB|=

8 10

3

．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点T（6，0）的直线l₂与双曲线C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与直线x=6相交于M，N两点，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

设函数f（x）=（a-a²）x+lnx-

1

x

（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a=1时，记g（x）=xf（x）+x²+1，是否存在整数t,使得关于x的不等式t≥g（x）有解？若存在，请求出t的最小值；若不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=2sinx-ax,a∈R．
（1）若f（x）是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，求g（x）=f（x）-lnx在(0，

π

2

]上的最小值．

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F（2，0），且点Q(

2

，

3

)在双曲线C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在不与F重合的点P，使得点F到直线PA，PB的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

已知函数f(x)=(x-m)ex-

1

m

x2+nx，且曲线y=f（x）在x=0处的切线为y=-2．
（1）求m,n的值和f（x）的单调区间；
（2）若f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）（x₁＜x₂＜x₃），证明：x₁+x₂＞0．

在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的任意一点到点F（2，0）的距离比到直线x+4=0的距离小2．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F作斜率为k₁，k₂的两条直线分别交C于M，N两点和P，Q两点，其中k1+k2=

1

2

．设线段MN和PQ的中点分别为A，B，过点F作FD⊥AB，垂足为D．试问：是否存在定点T，使得线段TD的长度为定值．若存在，求出点T的坐标及定值；若不存在，说明理由．

已知在△ABC中，sinA+cosA=

7

17

，则tanA=__________．

设

α

2

是第一象限角，且|cosα|=-cosα，则α是第 __________．

若角θ的终边经过点(-

3

5

，

4

5

)，则sin(

π

2

+θ)+cos(π-θ)+tan(2π-θ)=__________．

已知sinα+cosα=

7

13

，则tanα=__________．