已知圆C的方程x²+y²-2mx-4y+m-9=0（m∈R）．
（1）试求m的值，使圆C的周长最小；
（2）求与满足（1）中条件的圆C相切，且过点（1，-2）的直线方程．

如图所示，已知P（0，1）在椭圆Γ：

x2

4

+

y2

b2

=1（0＜b＜2）上，圆C：（x-1）²+y²=r²（r＞0），圆C在椭圆Γ内部．
（1）求r的取值范围；
（2）过P（0，1）作圆C的两条切线分别交椭圆Γ于A，B点（A，B不同于P），直线AB是否过定点？若AB过定点，求该定点坐标；若AB不过定点，请说明理由．

图1所示的椭圆规是画椭圆的一种工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，|MN|=3，D为旋杆上的一点且在M，N两点之间，且|ND|=2|DM|．当滑标M在滑槽EF内做往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为C₁．如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．

（1）求椭圆C₁的方程；
（2）以椭圆C₁的短轴为直径作圆C₂，已知直线l与圆C₂相切，且与椭圆C₁交于A，B两点，记△OAB的面积为S，若S=

2 2

3

，求直线l的斜率．

已知圆C过点A（4，2）和点B（1，3），圆心在直线y=x-1上．
（1）求圆C的方程；
（2）直线l经过点P（1，-1），且l被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程．

已知函数f（x）=ax+alnx.
（1）当a=1时，求过点（0，0）且与曲线y=f（x）相切的直线的方程；
（2）若方程f（x）=xe^x有两个不相等的实根，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=e^xcosx,g（x）=x-cosx.
（1）对任意的x∈[-

π

2

，0]，tf（x）-g'（x）≥0恒成立，求实数t的取值范围；
（2）设方程f（x）=g'（x）在区间(2nπ+

π

3

，2nπ+

π

2

)(n∈N*)内的根从小到大依次为x₁，x₂，…，x_n，…，求证：x_n+1-x_n＞2π．

已知函数f（x）=（x-a）²+be^x（a,b∈R）．
（1）若a=0时，函数y=f（x）有2个极值点，求b的取值范围；
（2）若a=1，b=

2

e

，方程f（x）=3有几个解？

已知函数f（x）=xe^x-1．
（1）若直线y=kx-e-1与曲线y=f（x）相切，求k的值；
（2）若∀x∈（0，+∞），f（x）＞lnx-ax,求a的取值范围．

已知函数f(x)=lnx+x+

2

ax

(a≠0)
（1）当a=1时，求f（x）的极值；
（2）若对∀x∈（e^-1，e），f（x）＜x+2，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=e^2x-ax-1，a∈R．
（1）若f（x）的最小值为0，求a；
（2）设函数g（x）=f（x）-ln²x-2lnx,若g（x）是增函数，求a的取值范围．