如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．
（1）求证：PQ∥平面BCD；
（2）若DA=DB=DC=4，∠BDC=90°，求AC与平面BQM所成角的余弦值．

2022年11月29日，神舟十五号载人飞船发射成功，三名宇航员与神州十四号乘组在“天宫”胜利会师．某研究小组对人们关注飞船发射的情况开展调查，并将关注这件事的时间在2小时以上的人称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，现从参与调查的人群中随机抽取了100人进行分析，得到下表（单位：人）：

	天文爱好者	非天文爱好者	合计
女	20		50
男		15
合计			100

（1）将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关？
（2）现从抽取的女性人群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为X，求X的分布列和数学期望．（附：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.）

P（χ2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》（下称“双减”），为了扎实推进“双减”工作，某地小学拟制定“免考”“弹性作业”等一系列制度，继续深化减负政策．现在当地随机抽取了200名家长，调查他们对“免考”制度的态度，统计如表．

	不支持	支持	合计
乡村家长（人）		40	100
城镇家长（人）
合计	80		200

（1）补充完善上述表格，并分别求乡村家长、城镇家长中支持“免考”制度的频率；
（2）是否有超过99.9%的把握认为支持“免考”制度与家长类别有关系．
附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2≥k0）	0.050	0.010	0.001
k0	3.841	6.635	10.828

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=2CD=4．平面PAB⊥平面ABCD，O为AB的中点，∠DAO=∠AOP=60°，OA=OP，E，F，G分别为BC，PD，PC的中点．
（1）求证：平面PCD⊥平面AFGB；
（2）求平面PDE与平面ABCD所成锐二面角的正切值．

数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2017-2021年中国在线直播用户规模（单位：亿人），其中2017年-2021年对应的代码依次为1-5．

年份代码x	1	2	3	4	5
市场规模y	3.98	4.56	5.04	5.86	6.36

参考数据：

y

=5.16，

v

=1.68，

5

i=1

viyi=45.10，其中vi=

xi

．
参考公式：对于一组数据（v₁，y₁），（v₂，y₂），…，（v_n，y_n），其回归直线

̂

y

=

̂

b

v+

̂

a

的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

̂

b

=

n i=1 viyi-n v y

n i=1 v 2 i -n v 2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

v

．
（1）由上表数据可知，可用函数模型

̂

y

=

̂

b

x

+

̂

a

拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（

̂

a

，

̂

b

的值精确到0.01）；
（2）已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为p,现从中国在线直播购物用户中随机抽取4人，记这4人中选择在品牌官方直播间购物的人数为X，若P（X=3）=P（X=4），求X的分布列与期望．

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面BCC₁B₁为正方形，2AB=BC=2，E，F分别为AC，CC₁的中点，BF⊥A₁B₁．
（1）证明：BF⊥平面A₁B₁E；
（2）求平面A₁B₁E与平面ACC₁A₁夹角的余弦值．

如图，四棱锥P-ABCD中，△PAD为等腰三角形，PD=PA=5，AD∥BC，∠BAD=90°，AB=AD=2BC=8．
（1）证明：BC⊥PC；
（2）若AB⊥AP，点M在线段PB上，PM=

1

3

PB，求平面DMC与平面PAD夹角的余弦值．

小家电指除大功率、大体积家用电器（如冰箱、洗衣机、空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，如表为2017～2021年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），其中2017年～2021年对应的代码依次为1～5．

年份代码x	1	2	3	4	5
市场规模y	0.9	1.2	1.5	1.4	1.6

（1）由表数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于x的经验回归方程（系数精确到0.01）；
（3）某传媒公司为了了解中国智能小家电消费者年龄分布，随机调查了200名消费者，统计这200名消费者年龄，按照青少年与中老年分为两组，得到如下2×2列联表：

	青少年	中老年	合计
喜欢购买智能小家电	80
不喜欢购买智能小家电		60
合计	110		200

依据α=0.001的独立性检验，能否认为是否喜欢购买智能小家电与年龄有关？
参考数据：

y

=1.32，

5

i=1

x_iy_i=21.4，

5 i=1 (yi- y )2

≈0.55，

10

≈3.16
参考公式：相关系数r=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2 n i=1 (yi- y )2

，回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

̂

b

=

n i=1 xiyi-n x y

n i=1 x 2 1 -n x 2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．
K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，n=a+b+c+d.
附：

a	0.10	0.010	0.001
xa	2.706	6.635	10.828

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ADC=90°，AB=AD=1，CD=2，BD₁⊥CD．点M为CD₁的中点，且CD₁=2BM．
（1）证明：平面BDM⊥平面BCD₁；
（2）若钝二面角B-DM-C的余弦值为-

15

15

，当BD₁＞BD时，求BD₁的长．

如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，∠PBA=∠CBA=45°，BP=BC=2

2

，AB=1．
（1）证明：AB⊥PC；
（2）求二面角A-PC-B的余弦值．