86681 难度：3

如图、在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是A₁B，B₁D₁的中点．
（1）求证：EF∥平面ACD₁；
（2）求证：平面ACD₁⊥平面D₁B₁BD．

86682 难度：3

如图，在多面体ABCDE中，平面ABC⊥平面ACDE，四边形ACDE是等腰梯形，ED∥AC，AB⊥AC，AE=ED=DC=

1

2

AC=1．
（1）若AB=1，求BD与平面ACDB所成角的正弦值；
（2）若平面BDE与平面BCD的夹角为

π

4

，求AB的长．

86683 难度：3

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G分别是AB，CC₁，AD的中点．
（1）证明：EG∥平面D₁B₁C；
（2）棱CD上是否存在点T，使AT∥平面B₁EF？若存在，求出

DT

DC

的值；若不存在，请说明理由．

86684 难度：3

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=CC₁=CB=2，且AC⊥CB，AA₁⊥㡳面ABC，E为AB中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥A₁C；
（Ⅱ）求证：BC₁∥平面A₁CE．

86685 难度：3

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a,PA⊥底面ABCD．
（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC？证明你的结论；
（2）若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围．

86686 难度：4

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=1，CD=3，AP=2，DP=2

3

，∠PAD=60°，AB⊥平面PAD，点M是棱PC上的动点．
（1）证明：AP⊥DM；
（2）设

PM

PC

=λ，求当AP∥平面BDM时λ的值．

86687 难度：5

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5，点E是BC的中点，
（1）求证：A₁B∥平面AC₁E；
（2）求证：A₁C⊥平面ABC₁；
（3）证明：在线段BC₁上存在点D，使得AD⊥A₁B．并求

BD

BC1

的值．

86688 难度：3

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面BCC₁B₁为矩形，ABB₁A₁是边长为2的菱形，BC=1，AC=

5

，
（1）证明：平面A₁BC⊥平面ABB₁A₁；
（2）若AC=A₁C，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

86689 难度：3

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，过BC的平面与侧棱PD，PA的交点分别是E，F．
（Ⅰ）证明：EF∥BC；
（Ⅱ）若PD⊥底面ABCD，求证：AC⊥平面PBD．

86690 难度：3

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4
（1）求证AC⊥BC₁；
（2）在AB上是否存在点D，使得AC₁⊥CD？并说明理由．