已知函数f(x)=2lnx-x+

1

x

．
（1）判断f（x）的单调性；
（2）设函数g(x)=f(x)-

1

x

+1，记[x]表示不超过实数x的最大整数，若g（x）（x²+mx+n）≤0对任意的正数x恒成立，求[2lnn-

1

nem+2

+

1

n

+1]的值．
（参考数据：ln3≈1.1，ln2≈0.7）

在一个平面上，A（-6，0），B（0，8），机器人从与点C（1，-3）的距离为r（r＞0）的地方绕点C顺时针而行，在行进过程中机器人所在位置P保持与点C的距离不变．
（1）若r=6，求它在行进过程中到过点A与点B的直线的最近距离和最远距离；
（2）若在行进过程中存在某点P使得PA⊥PB，求r的取值范围．

已知双曲线

x2

a2

-

y2

6

=1(a＞0)的左焦点为F₁（-3，0），过点F₁作倾斜角为150°的直线交双曲线于A、B两点．
（1）求a的值；
（2）求|AB|．

求下列各曲线的标准方程
（1）与椭圆

x2

25

+

y2

9

=1有公共焦点，且离心率e=

4

3

的双曲线的方程．
（2）抛物线的焦点是双曲线16x²-9y²=144的左顶点．求抛物线方程．

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），∠OAB=∠ABC=120°，|AB|=2．
（1）求直线BC的方程；
（2）求△OAB的外接圆M的方程．

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a,b＞0）的离心率为

2

，且焦点到渐近线的距离为1，P（m,n）为双曲线上任意一点（m≠±1），过点P的直线与圆O：x²+y²=1相切于A，B两点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求点A，B所在的直线方程；
（3）双曲线是否存在点P（m,n）m≠±1，使得△OAB的面积最大，若存在求出点P的坐标，及△OAB的最大面积，若不存在，请说明理由．

已知直线ax-y+5=0与圆C：x²+y²=9相交于不同两点A，B．
（1）求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a,使得过点P（-2，1）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

已知圆C的圆心在直线x+y-2=0上，且经过点A（4，0），B（2，2）．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l：x-y-10=0，点P为直线l上一动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为M，N，当四边形PMCN面积最小时，求直线MN的方程．

已知直线l：x+y−1=0和圆心为C的圆x²+y²-2x-4y+1=0．
（1）判断直线与圆的位置关系；
（2）如果相交，求直线被圆所截得的弦长．

已知圆O：x²+y²=8，直线l：x-y-8=0．
（Ⅰ）若圆O的弦AB恰好被点P（2，1）平分，求弦AB所在直线的方程；
（Ⅱ）点Q是直线l上的动点，过Q作圆O的两条切线，切点分别为C，D，求直线CD经过的定点；
（Ⅲ）过点M（2，2）作两条相异的直线，分别与圆O相交于E，F两点，当直线ME与直线MF的斜率互为倒数时，求证：线段EF的中点G在直线y=x上．