已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点A(1，

3

2

)．
（1）若椭圆E的离心率e∈(0，

1

2

]，求b的取值范围；
（2）已知椭圆E的离心率e=

3

2

，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线与圆x²+y²=b²相切，求线段MN的最大值．

如图5，已知A，B分别为椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左，右顶点，P（x₀，y₀）为椭圆M上异于点A，B的动点，若AB=6，且直线AP与直线BP的斜率之积等于-

4

9

．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）过动点P（x₀，y₀）作椭圆M的切线，分别与直线x=-a和x=a相交于D，C两点，记四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点N，问：是否存在两个定点F₁，F₂，使得|NF₁|+|NF₂|，为定值？若存在，求F₁，F₂的坐标；若不存在，说明理由．

椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，右焦点为F₂（c,0），点P在椭圆上运动，且|PF₂|的最大值为2+

3

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过A（0，1）作斜率分别为k₁，k₂的两条直线分别交椭圆于点M，N，且k₁+k₂=4，证明：直线MN恒过定点．

已知函数f（x）=ax-alnx-

ex

x

．
（1）若不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若函数y=f（x）有三个不同的极值点x₁，x₂，x₃，且f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）≤3e²-e,求实数a的取值范围．

已知椭圆C：

x2

4

+y2=1的左、右顶点分别为A，B，P为C上任意一点（异于A，B），直线AP，BP分别交直线x=

10

3

于M，N两点．
（1）求证：BM⊥BN；
（2）设直线BM交椭圆C于另一点Q，求证：直线PQ恒过定点．

已知函数f（x）=e^x-1+（lna-2）（x-1），g（x）=1-alnx,a＞0．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x＞1时，f（x）＞g（x），求a的取值范围．

已知动圆M经过定点F1(-

3

，0)，且与圆F₂：(x-

3

)2+y2=16内切．
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设PB交直线x=4于点T，连结AT交轨迹C于点Q．直线AP、AQ的斜率分别为k_AP、k_AQ．
（i）求证：k_AP•k_AQ为定值；
（ii）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点A(1，

3

2

)，且椭圆的长轴长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设经过点B（-1，0）的直线l与椭圆C相交于D、E两点，点E关于x轴的对称点为F，直线DF与x轴相交于点G，求△DEG的面积S的取值范围．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）右焦点分别为F₂，A（2，1）是C上一点，点B与A关于原点O对称，△ABF₂的面积为

6

．
（1）求C的标准方程；
（2）直线l∥AB，且交C于点D，E，直线AD与BE交于点P，
证明：①直线AD与BE的斜率乘积为定值；
②P点在定直线上．

已知函数f(x)=ex(sinx+cosx)，(x∈(0，

3π

4

))．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）求证：2f（x）＞2+x-x²．