设函数f（x）=e^x⋅sinx,g（x）=e^x（ax²-2a+e），其中e为自然对数的底数．
（1）当a=

e

2

时，讨论函数F(x)=

g(x)

f(x)

在(0，

π

2

)上的单调性；
（2）当a∈[

1

2

，1]时，求证：对任意x∈[0，+∞），f（x）＜g（x）．

已知函数f(x)=tx2+sin(

π

2

+x)，x∈[0，+∞）．
（1）当t=

1

2

时，求函数f（x）的最小值；
（2）当t=0时，若关于x的不等式sinx-e^ax+2≤f（x）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

函数f（x）=alnx+bx+3（a,b∈R），在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+2．
（1）求f（x）；
（2）x∈(0，

π

2

)，证明：2xsinx+π＞f（x）．

已知函数f（x）=xe^x-2ax+a.
（1）当a=

1

2

时，讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=e^x+mx²-e,m∈R．（注：e=2.718281…是自然对数的底数）
（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）只有一个极值点，求实数m的取值范围；
（3）若存在n∈R，对与任意的x∈R，使得f（x）≥n恒成立，求m-n的最小值．

椭圆曲线加密算法运用于区块链．
椭圆曲线C={（x,y）|y²=x³+ax+b,4a³+27b²≠0}．P∈C关于x轴的对称点记为

~

P

．C在点P（x,y）（y≠0）处的切线是指曲线y=±

x3+ax+b

在点P处的切线．定义“⊕”运算满足：①若P∈C，Q∈C，且直线PQ与C有第三个交点R，则P⊕Q=

~

R

；②若P∈C，Q∈C，且PQ为C的切线，切点为P则P⊕Q=

~

P

；③若P∈C，规定P⊕

~

P

=0°，且P⊕0°=0°⊕P=P．
（1）当4a³+27b²=0时，讨论函数h（x）=x³+ax+b零点的个数；
（2）已知“⊕”运算满足交换律、结合律，若P∈C，Q∈C，且PQ为C的切线，切点为P，证明：P⊕P=

~

Q

；
（3）已知P（x₁，y₁）∈C，Q（x₂，y₂）∈C，且直线PQ与C有第三个交点，求P⊕Q的坐标．
参考公式：m³-n³=（m-n）（m²+mn+n²）

已知函数f（x）=（x-2）e^x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在[-1，2]上的值域．

已知圆C经过点（2，0）和（0，2）且圆心在直线x+y=4上．
（1）求圆C的方程；
（2）若点P为圆C上的任意一点，求点P到直线l：2x+y+2=0距离的最大值和最小值．

已知函数f（x）=xlnx+mx.
（1）讨论函数f（x）在[1，+∞）上的单调性；
（2）若p(x)=f(x)-

1

2

mx2有两个极值点，求m的取值范围．

已知函数f（x）=xlnx+mx.
（1）讨论函数f（x）在[1，+∞）上的单调性；
（2）若p(x)=f(x)-

1

2m

x2-(m+1)x有两个极值点x₁，x₂，且x₂＞2x₁，求证：mx1x2＞e3．
（参考数据：ln2≈0.69）