对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若

a

b

＞

c

d

，那么称点（a,b）是点（c,d）的“上位点”．同时点（c,d）是点（a,b）的“下位点”；
（1）试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）已知点（a,b）是点（c,d）的“上位点”，判断点P(

a+c

2

，

b+d

2

)是否是点（a,b）的“下位点”，证明你的结论；
（3）设正整数n满足以下条件：对集合{t|0＜t＜2022，t∈Z}内的任意元素m,总存在正整数k,使得点（n,k）既是点（2022，m）的“下位点”，又是点（2023，m+1）的“上位点”，求满足要求的一个正整数n的值，并说明理由．

求满足a+b+c=2022且abc可被2022整除的正整数集合{a,b,c}个数．

把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：-2.5，3，-2020，-

10

3

，0.1010010001，-2.

•

3

，0，-（-30%），

π

3

，-|-4|
（1）正数集合：{　 __________}；
（2）无理数集合：{　 __________}；
（3）分数集合：{　 __________}；
（4）非正整数集合：{　 __________}．

用描述法表示下列集合：
（1）所有被3整除的整数组成的集合；
（2）不等式2x-3＞5的解集；
（3）方程x²+x+1=0的所有实数解组成的集合；
（4）抛物线y=-x²+3x-6上所有点组成的集合；
（5）集合{1，3，5，7，9}．

若对∀m,n∈N₊，当m-n∈A时，都有a_m-a_n∈A，则称数列{a_n}受集合A制约．
（Ⅰ）若an=2n，判断{a_n}是否受N₊制约，{a_n}是否受区间[0，1]制约；
（Ⅱ）若a₁=1，a₂=3，{a_n}受集合{2}制约，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若记p：“{a_n}受区间[1，2]制约”，q：“{a_n}受集合{2}制约”，判断p是否是q的充分条件，p是否是q的必要条件，并证明你的结论．

对于正整数集合A={a₁，a₂，…，a_n}（n∈N^*，n≥3），如果去掉其中任意一个元素a_i（i=1，2，⋅⋅⋅，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”．
（1）判断集合{1，2，3，4，5}是否是“和谐集”（要求写过程）；
（2）请写出一个只含有7个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”．

对于两个正整数m、n,定义某种运算“⊙”如下，当m、n都为正偶数或正奇数时，m⊙n=m+n；当m、n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n=mn,则在此定义下，求集合M={（p,q）|p⊙q=10，p∈N^*，q∈N^*}中元素的个数．

设A是非空数集，全集是R，若对任意x,y∈A，都有x+y∈A，xy∈A，则称A具有性质P．给出以下命题：
①若A具有性质P，则A可以是有限集；
②若A₁，A₂具有性质P，且A₁∩A₂不是空集，则A₁∩A₂具有性质P；
③若A₁，A₂具有性质P，则A₁∪A₂具有性质P；
④若A具有性质P，且A≠R，则∁_RA不具有性质P．
写出所有你认为正确的命题序号并说明你的理由．

已知集合D={x|x²+4tx+3t²=0}，B={x∈Z|2x²+3x-2≤0}，C={-3，-2，-1}，且集合D满足D∩B=∅，D∩C≠∅．
（1）求实数t的值；
（2）对集合A={a₁，a₂，⋯，a_n}（k≥2），其中a_i∈Z（i=1，2，⋯，k），定义由A中的元素构成两个相应的集合中：S={（a,b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a,b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}，其中（a,b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n,若对任意的a∈A，总有-a∉A，则称集合A具有性质P．
①请检验集合B∪C与C∪D是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；
②试判断m和n的大小关系，并证明你的结论．

对于一个数集M，若满足下列条件：①M中至少有两个非零元素；②0∈M；③任取M中的两个非零元素，它们加、减、乘、除后的结果都仍属于M，则称数集M为数域，如有理数集Q为有理数域，实数集R为实数域．
（1）证明整数集Z不是数域；
（2）判断集合A={x|x=

2

a+b,a∈Q，b∈Q}是否为数域，并说明理由；
（3）若B，C为任意两个数域且B∩C中至少存在两个非零元素，判断B∩C，B∪C是否为数域，并说明理由．