某学校组织知识竞答比赛，设计了两种答题方案：
方案一：先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题；
方案二：全部回答单选题．
其中每道单选题答对得2分，答错得0分；
多选题全部选对得3分，选对但不全得1分，有错误选项得0分．
每名参与竞答的同学至多答题3道．在答题过程中得到4分或4分以上立刻停止答题．统计参与竞答的500名同学，所得结果如表所示：

	男生	女生
选择方案一	100	80
选择方案二	200	120

（1）能否有90%的把握认为方案的选择与性别有关？
（2）小明回答每道单选题的正确率为0.8；多选题完全选对的概率为0.3，选对且不全的概率为0.3．
①若小明选择方案一，记小明的得分为X，求X的分布列及数学期望；
②如果你是小明，为了获取更好的得分你会选择哪个方案？请通过计算说明理由．
附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，n=a+b+c+d.

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

在三棱锥D-ABC中，AB⊥BC，CD⊥BC，AB=CD=

2

BC，取直线AB与CD的方向向量分别为

BA

，

CD

，若

BA

与

CD

夹角为

π

3

．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）求平面ABD与平面BCD的夹角的余弦值．

北京时间2022年11月21日0时，卡塔尔世界杯揭幕战在海湾球场正式打响，某公司专门生产世界杯纪念品，今年的订单数量再创新高，为回馈球迷，该公司推出了盲盒抽奖活动，每位成功下单金额达500元的顾客可抽奖1次．已知每次抽奖抽到一等奖的概率为10%，奖金100元；抽到二等奖的概率为30%，奖金50元；其余视为不中奖．假设每人每次抽奖是否中奖互不影响．
（1）任选2名成功下单金额达500元的顾客，求这两名顾客至少一人中奖的概率；
（2）任选2名成功下单金额达500元的顾客，记ξ为他们获得的奖金总数，求ξ的分布列和数学期望．

近年来，云南省保山市龙陵县紧紧围绕打造“中国石斛之乡”的发展定位，大力发展石斛产业，该产业带动龙陵县近四分之一人口脱贫致富．2022年8月，龙陵紫皮石斛获国家地理标志运用促进工程重点项目，并被评为优秀等次．在政府的大力扶持下，龙陵紫皮石斛产量逐年增长，2017年底到2022年底龙陵县石斛产量统计如下及散点图如图．

年份	2017	2018	2019	2020	2021	2022
年份代码x	1	2	3	4	5	6
紫皮石斛产量y（吨）	3200	3400	3600	4200	7500	9000

（1）根据散点图判断，y=ax+b与y=ce^dx（a,b,c,d均为常数）哪一个更适合作为龙陵县紫皮石斛产量y关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）经计算得下表中数据，根据（1）中结果，求出y关于x的回归方程；

x	y	u	6 i=1 （xi- x ）2	6 i=1 （xi- x ）（yi- y ）	6 i=1 （xi- x ）（ui- u ）
3.5	5150	8.46	17.5	20950	3.85

其中u=lny,u_i=lny_i（i=1，2，3，4，5，6）．
（3）龙陵县计划到2025年底实现紫皮石斛年产量达1.5万吨，根据（2）所求得的回归方程，预测该目标是否能完成？（参考数据：e^9.45≈12708，e^9.67≈15835）
附：

̂

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．

治疗慢性乙肝在医学上一直都是一个难题，因为基本不能治愈，只是可以让肝功能正常，不可以清除病毒，而且发展严重后还具有传染性，所以在各种体检中肝功能的检查是必不可少的．在对某学校初中一个班上64名学生进行体检后，不小心将2份携带乙肝的血液样本和62份正常样本（都用试管独立装好的）混在了一起，现在要将它们找出来，试管上都有标签，采用将共64份样品采用混检的方式，先将其平均分成两组，每组32份，将每组的32份进行混检，若携带病毒的在同一组，则将这一组继续取两份平均分组的混合样本进行检验，若携带病毒的样本不在同一组，则将两组都继续平均分组混检下去，直到最后将两份携带病毒的样本找出为止（样品检验时可以很快出结果，每次含病毒的那一组进行平均分组时，每个含病毒的样本被分到任意一组的概率都是

1

2

，且互不影响），设共需检验的次数为X．
（1）求随机变量X的分布列和期望；
（2）若5岁以上的乙肝患者急性和慢性的比例约为9：1，急性乙肝炎症治愈率可达

9

10

，没有治愈的会转为慢性乙肝，慢性乙肝炎症治愈率只有

3

100

，在找出两个乙肝样本后通知其进行治疗，求两人最后至少有一人痊愈的概率P_o.（结果保留两位有效数字）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3，E为PD的中点，F在PC上，满足EF⊥PC．
（1）求证：CD⊥平面PAD；
（2）求二面角B-AF-C的余弦值．

在测试中，客观题难度的计算公式为Pi=

Ri

N

，其中P_i为第i题的难度，R_i为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：

题号	1	2	3	4	5
考前预估难度Pi	0.9	0.8	0.7	0.6	0.4

测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：

题号	1	2	3	4	5
实测答对人数	16	16	14	14	4

（1）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；
（2）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）定义统计量S=

1

n

[(P′1-P1)2+(P′2-P2)2+⋯+(P′n-Pn)2]，其中P_i′为第i题的实测难度，P_i为第i题的预估难度（i=1，2，⋯，n）．规定：若S＜0.05，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理．

垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理．某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据（x_i，y_i）（i=1，2，⋯，20），其中x_i和y_i分别表示第i个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得

20

i=1

xi=80，

20

i=1

yi=4000，

20

i=1

(xi-

x

)2=80，

20

i=1

(yi-

y

)2=8000，

20

i=1

(xi-

x

)(yi-

y

)=700．
（1）请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合；
（2）求y关于x的线性回归方程；
（3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，其中甲款机器每台售价100万元，乙款机器每台售价80万元，下表是以往两款垃圾处理机器的使用年限统计表：

	1年	2年	3年	4年	合计
甲款	5	20	15	10	50
乙款	15	20	10	5	50

根据以往经验可知，某县城每年可获得政府支持的垃圾处理费用为50万元，若仅考虑购买机器的成本和每台机器的使用年限（使用年限均为整年），以频率估计概率，该县城选择购买一台哪款垃圾处理机器更划算？
参考公式：相关系数r=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2 n i=1 (yi- y )2

，对于一组具有线性相关关系的数据（x_i，y_i）（i=1，2，3，⋯，n），其回归直线

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

̂

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x．

为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：

奖项组别	个人赛			团体赛获奖
	一等奖	二等奖	三等奖
高一	20	20	60	50
高二	16	29	105	50

（1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；
（2）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中团体赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自高一的人数为ξ，来自高二的人数为η，试判断D（ξ）与D（η）的大小关系．（结论不要求证明）

如图所示，三棱锥P-ABC，BC为圆O的直径，A是弧

BC

上异于B、C的点．点D在直线AC上，OD∥平面PAB，E为PC的中点．
（1）求证：DE∥平面PAB；
（2）若PA=PB=PD=AB=AD=4，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．